So arbeitest du mit dieser Übungsprüfung
- Zuerst schreiben, dann lesen. Der Prüfungsbogen steht gleich unten, vollständig und ohne Lösungen. Nimm dir 70 Minuten, ein Blatt und keinen Taschenrechner — und rechne die Prüfung am Stück durch.
- Erst danach hierher zurück. Wer die Lösung vorher liest, verwechselt Verstehen mit Wiedererkennen. Das gilt für die Clips genauso.
- Zu jeder Teilaufgabe ein Clip. 26 Teilaufgaben, 26 Clips von rund einer Minute. Der Clip zeigt den Gedankengang, die Lösung darunter macht ihn vollständig.
- Der orange Balken sagt, was der Korrektor zählt. Unter jeder Lösung steht, wofür es die halben und ganzen Punkte gibt — daran siehst du, ob dein Rechenweg gereicht hätte.
- Hakenfeld setzen. Sitzt eine Aufgabe, hakst du sie oben rechts im Aufgabenkopf ab. Der Balken links zeigt, wo du stehst.
- Am Schluss die Punkte zusammenzählen. 23 Punkte sind das Maximum; die Selbsteinschätzung unter Auswertung sagt, was als Nächstes dran ist.
Zeit: 70 Minuten · Punkte: 23 · Hilfsmittel: keine, auch kein Taschenrechner · Stoff: RLP-BM 2030, Lerngebiete 1 und 2.
Diese Übungsprüfung ist bewusst etwas anspruchsvoller angelegt als die Prüfung selbst. Sämtliche Zahlen sind so gewählt, dass sie sich im Kopf berechnen lassen. Der Rechenweg muss nachvollziehbar sein; ein blosses Resultat ohne Herleitung gibt keine Punkte. Gib bei Gleichungen und Ungleichungen stets die Lösungsmenge \(L\) an, bei Bruchgleichungen zusätzlich die Definitionsmenge \(D\), und prüfe deine Lösung auf Zulässigkeit. Grundmenge ist überall \(\mathbb{R}\)
Prüfungsbogen
Alle 26 Teilaufgaben am Stück, ohne Lösungen und ohne Clips. Erst wenn dieser Teil geschrieben ist, lohnt sich alles Weitere.
Teil A · Arithmetik (4 Punkte)
- A1a(0.5 P)Ordne jeder Zahl die kleinste Zahlenmenge zu, in der sie enthalten ist (\(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) oder \(\mathbb{R}\)). Vereinfache zuerst: \(\ \dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\ \), \(\ -\sqrt[3]{27}\ \), \(\ 0.\overline{6}\ \), \(\ \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\)
- A1b(0.5 P)Ordne der Grösse nach, beginnend mit der kleinsten Zahl: \(\ -\dfrac{7}{8}\ ;\ -\left|-0.9\right|\ ;\ -\sqrt{0.64}\ ;\ -\dfrac{5}{6}\)
- A2a(0.5 P)Vereinfache so weit wie möglich und stelle das Resultat auf der Zahlengeraden dar: \(\ \bigl(\left]-\infty;\,2\right] \cup \left[4;\,7\right[\bigr) \cap \left[0;\,6\right]\)
- A2b(0.5 P)Schreibe als Intervall: \(\ \{\,x \in \mathbb{R} : \left|x-1\right| \leq 3\,\}\)
- A3a(0.5 P)Berechne ohne Taschenrechner: \(\ (-2)^4 : (-4) - 3^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2}\)
- A3b(0.5 P)Berechne ohne Taschenrechner: \(\ \dfrac{\ \frac{3}{4}-\frac{5}{6}\ }{\ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ }\)
- A4a(0.5 P)Berechne, Resultat in wissenschaftlicher Schreibweise: \(\ \dfrac{\left(4\cdot 10^{-3}\right)^{2}\cdot\left(5\cdot 10^{6}\right)}{2\cdot 10^{-2}}\)
- A4b(0.5 P)Berechne, Resultat in wissenschaftlicher Schreibweise: \(\ \dfrac{6\cdot 10^{-2}-1.5\cdot 10^{-2}}{1.5\cdot 10^{3}}\)
Teil B · Algebra (6 Punkte)
- B1a(0.5 P)Faktorisiere vollständig: \(\ 3x^4 - 48\)
- B1b(0.5 P)Faktorisiere vollständig: \(\ 2x^3 + 2x^2 - 24x\)
- B2(1 P)Fasse zu einem einzigen Bruch zusammen und kürze so weit wie möglich: \(\ \dfrac{3}{x^2-x-2} - \dfrac{2}{x^2-1}\)
- B3(1 P)Vereinfache so weit wie möglich: \(\ \dfrac{x^2-4}{x^2+6x+9} : \dfrac{x^2+2x}{x^2+3x}\)
- B4a(0.5 P)Schreibe mit rationalen Exponenten und vereinfache: \(\ \dfrac{\sqrt[3]{a^4}\cdot\sqrt[6]{a}}{\sqrt{a^3}}\)
- B4b(0.5 P)Schreibe als Potenz mit rationalem Exponenten: \(\ \sqrt{x\cdot\sqrt{x}}\)
- B4c(0.5 P)Berechne ohne Taschenrechner: \(\ \left(\dfrac{16}{81}\right)^{-3/4}\cdot 8^{2/3}\)
- B4d(0.5 P)Berechne ohne Taschenrechner: \(\ 32^{0.4} + 27^{-1/3}\)
- B4e(1 P)Vereinfache; das Resultat darf keine negativen Exponenten enthalten: \(\ \left(\dfrac{81\,a^{-4}b^{8}}{16\,a^{4}b^{-4}}\right)^{-3/4}\)
In Teil B gilt \(a > 0\), \(x > 0\), \(y > 0\)
Teil C · Lineare Gleichungen und Ungleichungen (13 Punkte)
- C1a(1 P)Löse über \(\mathbb{R}\) und gib \(L\) an: \(\ 6(x-2) - 2(2x+1) = 3(2x-4) - 2(x+1)\)
- C1b(1 P)Löse über \(\mathbb{R}\) und gib \(L\) an: \(\ 3(2x+1) - 2(x-4) = 4(x+2) + 3\)
- C2a(1 P)Löse über \(\mathbb{R}\), \(L\) in Intervallschreibweise: \(\ \dfrac{x-3}{2} - \dfrac{2x+1}{3} \geq \dfrac{1}{6}\)
- C2b(1 P)Löse über \(\mathbb{R}\), \(L\) in Intervallschreibweise: \(\ 3(2x-5) - 2(x-1) \leq 4(x+1) - 18\)
- C3(1 P)Löse über \(\mathbb{R}\): \(\ \dfrac{3x-1}{4} - \dfrac{x+2}{6} = \dfrac{5x}{12} - 1\)
- C4(2 P)Bestimme zuerst \(D\), löse anschliessend und gib \(L\) an. Begründe dein Resultat: \(\ \dfrac{4}{x-2} - \dfrac{2}{x+2} = \dfrac{16}{x^2-4}\)
- C5(1 P)Die Linsengleichung lautet \(\ \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{g} + \dfrac{1}{b}\). Löse nach der Bildweite \(b\) auf und gib an, für welchen Wert von \(g\) die Gleichung keine Lösung besitzt.
- C6(2 P)\(a \in \mathbb{R}\) ist ein Parameter. Löse nach \(x\) auf, mit vollständiger Fallunterscheidung: \(\ 3(ax+2) = a(x+4) + 2x\)
- C7(3 P)\(a \in \mathbb{R}\) ist ein Parameter. Löse nach \(x\) auf, mit vollständiger Fallunterscheidung: \(\ a(ax+2) = 4x + a + 2\)
Geschrieben? Dann geht es unten weiter — Teilaufgabe für Teilaufgabe, jede mit Clip und Musterlösung.
A1 — Zahlenmengen und Ordnen
Beide Teilaufgaben prüfen dasselbe: ob du eine Zahl von ihrer Schreibweise trennen kannst. \(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\) sieht irrational aus und ist eine natürliche Zahl; \(-\left|-0.9\right|\) sieht positiv aus und ist die kleinste der vier.
Aufgabe A1 · 1 P
-
A1a(0.5 P)Ordne jeder Zahl die kleinste Zahlenmenge zu (\(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) oder \(\mathbb{R}\)). Vereinfache zuerst: \(\ \dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\ \), \(\ -\sqrt[3]{27}\ \), \(\ 0.\overline{6}\ \), \(\ \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\)
Lösung
\(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5 \in \mathbb{N}\)
\(-\sqrt[3]{27} = -3 \in \mathbb{Z}\)
\(0.\overline{6} = \dfrac{2}{3} \in \mathbb{Q}\)
\(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{6} = 2.449\ldots\) — \(6\) ist keine Quadratzahl, also \(\sqrt{6} \notin \mathbb{Q}\), somit \(\in \mathbb{R}\)
Die Mengen liegen ineinander: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\). Gefragt ist jeweils die kleinste — \(5\) liegt auch in \(\mathbb{R}\), aber das ist nicht die Antwort.
0.5 P bei vier korrekten Zuordnungen. Teilpunkte gibt es nicht.
-
A1b(0.5 P)Ordne der Grösse nach, beginnend mit der kleinsten Zahl: \(\ -\dfrac{7}{8}\ ;\ -\left|-0.9\right|\ ;\ -\sqrt{0.64}\ ;\ -\dfrac{5}{6}\)
Lösung
Alles in dieselbe Form bringen, also in Dezimalzahlen:
\(-\dfrac{7}{8} = -0.875 \qquad\qquad -\left|-0.9\right| = -0.9\)
\(-\sqrt{0.64} = -0.8 \qquad\qquad -\dfrac{5}{6} = -0.8\overline{3}\)
Bei negativen Zahlen ist die Zahl mit dem grössten Betrag die kleinste:
\(-0.9 \ < \ -0.875 \ < \ -0.8\overline{3} \ < \ -0.8\)
\(-\left|-0.9\right| \ < \ -\dfrac{7}{8} \ < \ -\dfrac{5}{6} \ < \ -\sqrt{0.64}\)
\(0.8^2 = 0.64\), darum ist \(\sqrt{0.64}\) genau \(0.8\) — keine Näherung.
0.5 P für die vollständig richtige Kette. In der Antwort stehen die Zahlen so, wie sie in der Aufgabe standen.
Die Schreibweise statt der Zahl einordnen. Wer \(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\) ohne Vereinfachen ansieht, schreibt \(\mathbb{R}\) hin und verliert den Punkt — obwohl die Zahl \(5\) ist.
Bei negativen Zahlen die Richtung vergessen. \(-0.9\) hat den grössten Betrag und ist trotzdem die kleinste Zahl. Wer nach Beträgen ordnet, bekommt die Kette genau verkehrt herum.
A2 — Intervalle und Betrag
Zweimal derselbe Gedanke aus zwei Richtungen: aus Mengenschreibweise ein Intervall machen und umgekehrt. Beide Male hilft die Zahlengerade mehr als jede Regel.
Aufgabe A2 · 1 P
-
A2a(0.5 P)Vereinfache so weit wie möglich und stelle das Resultat auf der Zahlengeraden dar: \(\ \bigl(\left]-\infty;\,2\right] \cup \left[4;\,7\right[\bigr) \cap \left[0;\,6\right]\)
Lösung
Der Durchschnitt wirkt auf beide Teile der Vereinigung einzeln: \((A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)\)
\(\left]-\infty;\,2\right] \cap \left[0;\,6\right] = \left[0;\,2\right]\) — links begrenzt die \(0\), rechts die \(2\)
\(\left[4;\,7\right[ \ \cap \ \left[0;\,6\right] = \left[4;\,6\right]\) — rechts entscheidet die engere Grenze \(6\), und die ist geschlossen.
\(\left[0;\,2\right] \cup \left[4;\,6\right]\)
Auf der Zahlengeraden: zwei getrennte, ausgefüllte Strecken mit vier vollen Randpunkten. Zwischen \(2\) und \(4\) gehört nichts dazu.
0.5 P für das richtige Resultat mitsamt Zahlengeraden. Beide Abschnitte müssen erscheinen — ein zusammengezogenes \(\left[0;\,6\right]\) ist falsch.
-
A2b(0.5 P)Schreibe als Intervall: \(\ \{\,x \in \mathbb{R} : \left|x-1\right| \leq 3\,\}\)
Lösung
\(\left|x-1\right|\) ist der Abstand von \(x\) zur Zahl \(1\). Die Bedingung heisst also: höchstens \(3\) von der \(1\) entfernt.
\(\left|x-1\right| \leq 3 \quad \Longleftrightarrow \quad -3 \leq x-1 \leq 3 \quad \mid +1\)
\(-2 \leq x \leq 4\)
\(\left[-2;\,4\right]\)
Zur Probe ohne Rechnung: Mittelpunkt \(1\), Radius \(3\) — also \(1-3 = -2\) und \(1+3 = 4\)
0.5 P für das Intervall. Beide Grenzen gehören dazu, weil das Zeichen \(\leq\) ist.
Den Durchschnitt nur auf ein Teilstück anwenden. Das zweite Stück \(\left[4;\,7\right[\) fällt dann unter den Tisch, und übrig bleibt bloss \(\left[0;\,2\right]\)
Bei \(\geq\) dieselbe Umformung wie bei \(\leq\). \(\left|x-1\right| \geq 3\) ergibt zwei getrennte Stücke, nicht eines: \(x \leq -2\) oder \(x \geq 4\)
A3 — Vorzeichen und Doppelbruch
Zwei kurze Terme ohne Taschenrechner. In a) entscheidet die Reihenfolge Potenz vor Punkt vor Strich, in b) der Hauptbruchstrich.
Aufgabe A3 · 1 P
-
A3a(0.5 P)Berechne ohne Taschenrechner: \(\ (-2)^4 : (-4) - 3^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2}\)
Lösung
\((-2)^4 = 16\), also \(16 : (-4) = -4\)
\(\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2} = \dfrac{1}{9}\), also \(3^2 \cdot \dfrac{1}{9} = 9 \cdot \dfrac{1}{9} = 1\)
\(-4 - 1 = -5\)
Beide Male fällt das Minus weg, weil der Exponent gerade ist — und weil die Klammer das Vorzeichen einschliesst. Ohne Klammer wäre \(-2^4 = -16\)
0.5 P für das Resultat mit nachvollziehbarem Weg.
-
A3b(0.5 P)Berechne ohne Taschenrechner: \(\ \dfrac{\ \frac{3}{4}-\frac{5}{6}\ }{\ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ }\)
Lösung
Zähler: \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{9}{12} - \dfrac{10}{12} = -\dfrac{1}{12}\)
Nenner: \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}\)
\(-\dfrac{1}{12} : \dfrac{5}{6} = -\dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{6}{5} = -\dfrac{1}{10}\)
Der Hauptbruchstrich ist ein Geteiltzeichen. Vor dem Malnehmen kürzen: die \(6\) geht in die \(12\)
0.5 P für das Resultat. Zähler und Nenner müssen erkennbar getrennt behandelt sein.
Das zweite Minus zu früh verrechnen. Das Minus in der Mitte trennt zwei Teile; der zweite ist \(+1\), nicht \(-1\). Wer \(-4 + 1\) rechnet, erhält \(-3\)
Im Doppelbruch die Klammern verlieren. \(\frac{3}{4} - \frac{5}{6} : \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\) ist eine völlig andere Aufgabe. Wer den Doppelbruch in eine Zeile schreibt, muss Klammern setzen.
A4 — Zehnerpotenzen
Beide Teilaufgaben verlangen das Resultat in wissenschaftlicher Schreibweise. Der Rechenweg ist immer derselbe: Zahlen zu Zahlen, Zehnerpotenzen zu Zehnerpotenzen — und am Schluss die Mantisse normieren.
Aufgabe A4 · 1 P
-
A4a(0.5 P)Berechne, Resultat in wissenschaftlicher Schreibweise: \(\ \dfrac{\left(4\cdot 10^{-3}\right)^{2}\cdot\left(5\cdot 10^{6}\right)}{2\cdot 10^{-2}}\)
Lösung
Zuerst die Klammer: \(\left(4\cdot 10^{-3}\right)^{2} = 4^2 \cdot 10^{-3\cdot 2} = 16 \cdot 10^{-6}\)
\(\dfrac{16 \cdot 5}{2}\cdot 10^{\,-6+6-(-2)} = 40 \cdot 10^{2}\)
\(40 \cdot 10^{2} = 4 \cdot 10^{3}\)
Der Exponent \(2\) trifft beide Faktoren der Klammer, auch die \(4\). Und \(-6+6+2 = 2\) — das Minus vor dem Nennerexponenten nicht vergessen.
0.5 P nur bei normierter Mantisse. \(40\cdot 10^{2}\) ist richtig gerechnet, aber nicht die verlangte Form.
-
A4b(0.5 P)Berechne, Resultat in wissenschaftlicher Schreibweise: \(\ \dfrac{6\cdot 10^{-2}-1.5\cdot 10^{-2}}{1.5\cdot 10^{3}}\)
Lösung
Beide Summanden im Zähler haben dieselbe Zehnerpotenz — sie lässt sich ausklammern:
\(6\cdot 10^{-2} - 1.5\cdot 10^{-2} = (6-1.5)\cdot 10^{-2} = 4.5 \cdot 10^{-2}\)
\(\dfrac{4.5\cdot 10^{-2}}{1.5\cdot 10^{3}} = \dfrac{4.5}{1.5}\cdot 10^{\,-2-3} = 3 \cdot 10^{-5}\)
Zur Probe: \(0.06 - 0.015 = 0.045\), geteilt durch \(1500\) ergibt \(0.00003\)
0.5 P für das Resultat. Die Mantisse \(3\) liegt bereits zwischen \(1\) und \(10\)
Für Mal und Geteilt gibt es Potenzgesetze: \(a\cdot 10^{m} \cdot b \cdot 10^{n} = ab\cdot 10^{m+n}\)
Für Plus und Minus gibt es keines — sie gehen nur, wenn die Zehnerpotenz auf beiden Seiten dieselbe ist. Dann klammert man sie aus. Stehen verschiedene Exponenten da, muss zuerst einer angeglichen werden.
B1 — Vollständig faktorisieren
Das Wort vollständig ist die eigentliche Aufgabe. Beide Terme lassen sich nach dem ersten Schritt weiter zerlegen — und genau dort liegt der halbe Punkt.
Aufgabe B1 · 1 P
-
B1a(0.5 P)Faktorisiere vollständig: \(\ 3x^4 - 48\)
Lösung
Gemeinsamer Faktor \(3\), dann zweimal die dritte binomische Formel:
\(3x^4 - 48 = 3\left(x^4-16\right)\)
\(= 3\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)\)
\(= 3(x-2)(x+2)\left(x^2+4\right)\)
\(x^2+4\) ist eine Summe von Quadraten und lässt sich über \(\mathbb{R}\) nicht weiter zerlegen — dort ist Schluss.
0.5 P nur bei vollständiger Zerlegung. \(3\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)\) ist unvollständig und gibt nichts.
-
B1b(0.5 P)Faktorisiere vollständig: \(\ 2x^3 + 2x^2 - 24x\)
Lösung
Gemeinsamer Faktor \(2x\), dann Zweiklammersatz mit \(+4\) und \(-3\):
\(2x^3 + 2x^2 - 24x = 2x\left(x^2+x-12\right)\)
\(= 2x(x+4)(x-3)\)
Gesucht sind zwei Zahlen mit Produkt \(-12\) und Summe \(+1\). Produkt negativ heisst verschiedene Vorzeichen; Summe positiv heisst, die grössere Zahl ist die positive.
0.5 P für die vollständige Zerlegung. Der ausgeklammerte Faktor \(2x\) gehört in die Antwort.
1. Ausklammern, was allen Gliedern gemeinsam ist. Das senkt den Grad und macht den Rest oft erst zerlegbar.
2. Eine Formel suchen — binomische Formel oder Zweiklammersatz.
3. Noch einmal hinsehen. Steht in einer Klammer wieder etwas Zerlegbares? Genau hier entscheidet sich «vollständig».
B2 — Brüche zusammenfassen
Solange die Nenner ausmultipliziert dastehen, findest du keinen Hauptnenner. Faktorisiert sieht man sofort, dass beide den Faktor \(x+1\) teilen — und dass er sich am Schluss wieder wegkürzt.
Aufgabe B2 · 1 P
-
B2(1 P)Fasse zu einem einzigen Bruch zusammen und kürze so weit wie möglich: \(\ \dfrac{3}{x^2-x-2} - \dfrac{2}{x^2-1}\)
Lösung
Nenner faktorisieren: \(x^2-x-2 = (x-2)(x+1)\) und \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\)
Hauptnenner \((x-2)(x+1)(x-1)\) — jeder Faktor einmal:
\(\dfrac{3(x-1) - 2(x-2)}{(x-2)(x+1)(x-1)} = \dfrac{3x-3-2x+4}{(x-2)(x+1)(x-1)}\)
\(= \dfrac{x+1}{(x-2)(x+1)(x-1)}\)
Der Faktor \(x+1\) kürzt sich weg:
\(\dfrac{1}{(x-2)(x-1)}\)
\(-2\cdot(-2) = +4\) — das Minus vor der zweiten Klammer dreht beide Vorzeichen. Und gekürzt werden dürfen nur Faktoren, nie Summanden; \(x+1\) ist hier ein Faktor.
0.5 P für Hauptnenner und Zähler, 0.5 P für das abschliessende Kürzen. Ohne das Kürzen am Schluss ist die Aufgabe nicht vollständig gelöst.
B3 — Bruchterme dividieren
Vier Terme, keiner davon faktorisiert. Ohne Faktoren lässt sich nichts kürzen — darum steht das Faktorisieren hier vor allem anderen.
Aufgabe B3 · 1 P
-
B3(1 P)Vereinfache so weit wie möglich: \(\ \dfrac{x^2-4}{x^2+6x+9} : \dfrac{x^2+2x}{x^2+3x}\)
Lösung
Alle vier Terme faktorisieren:
\(x^2-4 = (x-2)(x+2)\), \(\quad x^2+6x+9 = (x+3)^2\), \(\quad x^2+2x = x(x+2)\), \(\quad x^2+3x = x(x+3)\)
Dann mit dem Kehrwert multiplizieren und kürzen:
\(\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x+3)^2} \cdot \dfrac{x(x+3)}{x(x+2)} = \dfrac{x-2}{x+3}\)
Es kürzen sich \(x\), \(x+2\) und ein \(x+3\) — von \((x+3)^2\) bleibt genau eines stehen.
0.5 P für alle Faktorisierungen inklusive \((x+3)^2\), 0.5 P für das vollständige Kürzen.
Über eine Summe kürzen. In \(\dfrac{x^2-4}{x^2}\) darf man das \(x^2\) nicht streichen — oben steht eine Differenz, kein Produkt. Gekürzt wird nur, was als Faktor dasteht.
B4 — Potenz- und Wurzelterme
Fünf Teilaufgaben, drei von sechs Punkten des ganzen Teils B. Der rote Faden ist einer: jede Wurzel ist eine Potenz. Wer das umschreibt, braucht kein einziges Wurzelgesetz mehr — es bleiben die Potenzgesetze und Bruchrechnung im Exponenten.
| Nr. | Regel | gilt, wenn |
|---|---|---|
| R1 | \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) | Nenner = Wurzel, Zähler = Potenz |
| R2 | \(a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}\), \(\ \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) | gleiche Basis |
| R3 | \(\left(a^m\right)^n = a^{m\cdot n}\) | Potenz einer Potenz |
| R4 | \(a^{-k} = \dfrac{1}{a^{k}}\), \(\ \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-k} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{k}\) | negativer Exponent = Kehrwert |
Aufgabe B4 · 3 P
-
B4a(0.5 P)Schreibe mit rationalen Exponenten und vereinfache: \(\ \dfrac{\sqrt[3]{a^4}\cdot\sqrt[6]{a}}{\sqrt{a^3}}\)
Lösung
\(\sqrt[3]{a^4} = a^{\frac{4}{3}}\), \(\quad \sqrt[6]{a} = a^{\frac{1}{6}}\), \(\quad \sqrt{a^3} = a^{\frac{3}{2}}\)
\(a^{\frac{4}{3}+\frac{1}{6}-\frac{3}{2}} = a^{\frac{8}{6}+\frac{1}{6}-\frac{9}{6}} = a^{0} = 1\)
Die Quadratwurzel hat den unsichtbaren Wurzelexponenten \(2\). Und weil \(a > 0\) vorausgesetzt ist, ist \(a^0\) ohne Vorbehalt \(1\)
0.5 P für das Resultat \(1\) mit sichtbaren Exponenten.
-
B4b(0.5 P)Schreibe als Potenz mit rationalem Exponenten: \(\ \sqrt{x\cdot\sqrt{x}}\)
Lösung
Innere Wurzel zuerst: \(x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}\)
Dann die äussere: \(\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}}\)
Innen wird addiert (gleiche Basis, R2), aussen wird multipliziert (Potenz einer Potenz, R3). Zur Probe mit \(x = 16\): innen \(16\cdot 4 = 64\), davon die Wurzel ist \(8 = 16^{0.75}\)
0.5 P für \(x^{3/4}\)
-
B4c(0.5 P)Berechne ohne Taschenrechner: \(\ \left(\dfrac{16}{81}\right)^{-3/4}\cdot 8^{2/3}\)
Lösung
Negativer Exponent \(\Rightarrow\) Kehrwert:
\(\left(\dfrac{16}{81}\right)^{-\frac{3}{4}} = \left(\dfrac{81}{16}\right)^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{\dfrac{81}{16}}\right)^{3} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{3} = \dfrac{27}{8}\)
\(8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^{2} = 2^2 = 4\)
\(\dfrac{27}{8}\cdot 4 = \dfrac{27}{2} \ (= 13.5)\)
Erst wurzeln, dann potenzieren — so bleiben die Zahlen klein. Umgekehrt müsstest du \(81^3\) im Kopf rechnen.
0.5 P für das Resultat \(\tfrac{27}{2}\)
-
B4d(0.5 P)Berechne ohne Taschenrechner: \(\ 32^{0.4} + 27^{-1/3}\)
Lösung
\(0.4 = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\), also \(32^{\frac{2}{5}} = \left(\sqrt[5]{32}\right)^{2} = 2^2 = 4\)
\(27^{-\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{27}} = \dfrac{1}{3}\)
\(4 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{13}{3}\)
Der Schlüssel ist, \(32\) als \(2^5\) zu erkennen. Als Dezimalzahl sagt der Exponent nichts — als Bruch sagt er, welche Wurzel gemeint ist.
0.5 P für \(\tfrac{13}{3}\). Als Bruch stehen lassen, nicht runden.
-
B4e(1 P)Vereinfache; das Resultat darf keine negativen Exponenten enthalten: \(\ \left(\dfrac{81\,a^{-4}b^{8}}{16\,a^{4}b^{-4}}\right)^{-3/4}\)
Lösung
Zuerst die Klammer — beim Teilen werden die Exponenten subtrahiert:
\(\dfrac{81\,a^{-4}b^{8}}{16\,a^{4}b^{-4}} = \dfrac{81}{16}\,a^{-4-4}\,b^{8-(-4)} = \dfrac{81}{16}\,a^{-8}b^{12}\)
Dann der negative äussere Exponent — Kehrwert der Klammer, danach potenzieren:
\(\left(\dfrac{16}{81}\,a^{8}b^{-12}\right)^{\frac{3}{4}} = \left(\dfrac{16}{81}\right)^{\frac{3}{4}} a^{6}b^{-9} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} a^{6}b^{-9}\)
\(= \dfrac{8\,a^{6}}{27\,b^{9}}\)
Vier Schritte, immer dieselben: Klammer zusammenfassen, Kehrwert, potenzieren, negative Exponenten in den Nenner. Wer den äusseren Exponenten zuerst hineinzieht, rechnet dieselbe Aufgabe dreimal.
0.5 P für die zusammengefasste Klammer \(\tfrac{81}{16}a^{-8}b^{12}\), 0.5 P für das Resultat ohne negative Exponenten.
\(-4-4 = -8\), nicht \(0\). Beim Teilen wird der Nennerexponent subtrahiert — auch wenn er schon negativ ist.
\(8-(-4) = 12\), nicht \(4\). Minus und Minus geben Plus, auch im Exponenten.
Der äussere Exponent trifft alles in der Klammer — die Zahl, das \(a\) und das \(b\). Ein vergessener Faktor kostet den halben Punkt.
Sechs der sieben Aufgaben laufen auf dieselbe Frage hinaus: Was steht am Schluss vor dem \(x\)? Bringt man alles mit \(x\) auf eine Seite und klammert \(x\) aus, bleibt \(k \cdot x = m\) — und dann gibt es genau drei Ausgänge:
| Fall | Bedingung | Lösungsmenge |
|---|---|---|
| 1 | \(k \neq 0\) | genau eine Lösung, \(L = \left\{\tfrac{m}{k}\right\}\) |
| 2 | \(k = 0\) und \(m = 0\) | allgemeingültig, \(L = \mathbb{R}\) |
| 3 | \(k = 0\) und \(m \neq 0\) | falsche Aussage, \(L = \{\ \}\) |
C1a ist Fall 1, C1b Fall 2, C2b Fall 3. In C6 und C7 hängt \(k\) am Parameter — darum muss dort jeder Fall einzeln aufgeschrieben werden. Und C4 zeigt den einen Fall, in dem eine gefundene Zahl trotzdem keine Lösung ist.
C1 — Lineare Gleichungen
Beide Teilaufgaben sehen gleich aus: vier Klammern, zwei davon mit Minus davor. Sie gehen verschieden aus — und das ist die eigentliche Prüfung.
Aufgabe C1 · 2 P
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C1a(1 P)Löse über \(\mathbb{R}\) und gib \(L\) an: \(\ 6(x-2) - 2(2x+1) = 3(2x-4) - 2(x+1)\)
Lösung
\(6x-12-4x-2 = 6x-12-2x-2\)
\(2x-14 = 4x-14 \quad \mid +14 \ \mid -4x\)
\(-2x = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 0\)
\(L = \{0\}\)
Das Minus vor der Klammer trifft beide Glieder: aus \(-2(2x+1)\) wird \(-4x-2\), nicht \(-4x+2\). Probe mit \(x=0\): links \(-12-2 = -14\), rechts \(-12-2 = -14\)
1 P für die Lösungsmenge. \(0 : (-2) = 0\) ist eine gewöhnliche Zahl — hier ist nichts undefiniert.
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C1b(1 P)Löse über \(\mathbb{R}\) und gib \(L\) an: \(\ 3(2x+1) - 2(x-4) = 4(x+2) + 3\)
Lösung
\(6x+3-2x+8 = 4x+8+3\)
\(4x+11 = 4x+11 \quad \Longrightarrow \quad 0 = 0\), allgemeingültig
\(L = \mathbb{R}\)
\(-2\cdot(-4) = +8\) — minus mal minus gibt plus. Beide Seiten sind Zeichen für Zeichen dieselben; jede reelle Zahl löst die Gleichung. Probe mit \(x=1\): links \(9+6 = 15\), rechts \(12+3 = 15\)
1 P. Nur \(0 = 0\) hinschreiben, ohne Interpretation: 0.5 P — die Deutung gehört zur Antwort.
C2 — Ungleichungen
Ungleichungen rechnen sich wie Gleichungen, mit einer einzigen Ausnahme: Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl dreht das Relationszeichen um. In a) passiert das genau einmal, in b) gar nicht.
Aufgabe C2 · 2 P
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C2a(1 P)Löse über \(\mathbb{R}\), \(L\) in Intervallschreibweise: \(\ \dfrac{x-3}{2} - \dfrac{2x+1}{3} \geq \dfrac{1}{6}\)
Lösung
Mit dem Hauptnenner \(6\) multiplizieren. \(6 > 0\), das Zeichen bleibt:
\(3(x-3) - 2(2x+1) \geq 1\)
\(3x-9-4x-2 \geq 1 \quad \Longrightarrow \quad -x-11 \geq 1\)
\(-x-11 \geq 1 \quad \mid +11 \quad \Longrightarrow \quad -x \geq 12\)
Multiplikation mit \(-1\) dreht das Relationszeichen:
\(x \leq -12\)
\(L = \left]-\infty;\,-12\right]\)
Zur Probe mit \(x = -12\): \(\tfrac{-15}{2} - \tfrac{-23}{3} = -7.5 + 7.\overline{6} = \tfrac{1}{6}\) — genau die Grenze, und die gehört dazu.
1 P. Ohne Umkehr des Zeichens: 0 P. Links steht immer eine offene Klammer — \(\infty\) ist keine Zahl.
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C2b(1 P)Löse über \(\mathbb{R}\), \(L\) in Intervallschreibweise: \(\ 3(2x-5) - 2(x-1) \leq 4(x+1) - 18\)
Lösung
\(6x-15-2x+2 \leq 4x+4-18\)
\(4x-13 \leq 4x-14 \quad \mid -4x\)
\(-13 \leq -14\) — falsch
\(L = \{\ \}\)
\(-13\) liegt rechts von \(-14\), ist also grösser. Die Aussage ist für jedes \(x\) falsch, es gibt keine Lösung. Hier wurde nie durch eine negative Zahl geteilt — das Zeichen bleibt durchgehend stehen.
1 P. Die leere Menge schreibt man \(\{\ \}\) oder \(\emptyset\) — nicht \(L = 0\), denn \(0\) ist eine Zahl.
C3 — Hauptnenner, auch bei der Zahl ohne Nenner
Eine gewöhnliche Bruchgleichung mit einer Stolperstelle: rechts steht am Ende eine blanke \(-1\). Sie hat keinen Bruchstrich und wird trotzdem mit dem Hauptnenner multipliziert.
Aufgabe C3 · 1 P
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C3(1 P)Löse über \(\mathbb{R}\): \(\ \dfrac{3x-1}{4} - \dfrac{x+2}{6} = \dfrac{5x}{12} - 1\)
Lösung
Hauptnenner \(12\), jedes Glied damit multiplizieren — auch die \(-1\):
\(3(3x-1) - 2(x+2) = 5x - 12\)
\(9x-3-2x-4 = 5x-12\)
\(7x-7 = 5x-12 \quad \mid -5x \ \mid +7\)
\(2x = -5 \quad \Longrightarrow \quad x = -\dfrac{5}{2}\)
\(L = \left\{-\dfrac{5}{2}\right\}\)
Probe mit \(x = -\tfrac{5}{2}\): links \(-\tfrac{17}{8} + \tfrac{1}{12} = -\tfrac{49}{24}\), rechts \(-\tfrac{25}{24} - 1 = -\tfrac{49}{24}\)
0.5 P für das korrekte Beseitigen der Nenner — ausdrücklich auch bei der \(-1\) auf der rechten Seite. 0.5 P für das Resultat.
C4 — Die Lösung, die keine ist
Die einzige Aufgabe der Prüfung, bei der eine sauber gerechnete Zahl am Schluss verworfen wird. Das Multiplizieren mit einem Term, der null werden kann, ist keine Äquivalenzumformung — es kann Lösungen erfinden.
Aufgabe C4 · 2 P
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C4(2 P)Bestimme zuerst \(D\), löse anschliessend und gib \(L\) an. Begründe dein Resultat: \(\ \dfrac{4}{x-2} - \dfrac{2}{x+2} = \dfrac{16}{x^2-4}\)
Lösung
Definitionsmenge. \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\), also \(D = \mathbb{R}\setminus\{-2;\,2\}\)
Lösen. Multiplikation mit \((x-2)(x+2)\):
\(4(x+2) - 2(x-2) = 16\)
\(4x+8-2x+4 = 16 \quad \Longrightarrow \quad 2x+12 = 16\)
\(2x = 4 \quad \Longrightarrow \quad x = 2\)
Prüfen. Aber \(2 \notin D\): die Zahl \(2\) ist eine Scheinlösung. Sie entsteht erst durch die Multiplikation mit dem Term \(x-2\), der für \(x=2\) null ist.
\(L = \{\ \}\)
Setzt man \(2\) in die ursprüngliche Gleichung ein, steht dort \(\tfrac{4}{0}\) — nicht definiert. Ohne den Vergleich mit \(D\) steht hier die falsche Antwort \(L = \{2\}\)
0.5 P für \(D\), 1 P für die Rechnung bis \(x=2\), 0.5 P für das Erkennen der Scheinlösung.
C5 — Eine Formel umstellen
Die Linsengleichung aus der Optik. Der Trick ist, nicht sofort nach \(b\) aufzulösen, sondern zuerst nach \(\tfrac{1}{b}\) — und rechts auf einen Bruch zu bringen, bevor man umkehrt.
Aufgabe C5 · 1 P
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C5(1 P)Die Linsengleichung lautet \(\ \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{g} + \dfrac{1}{b}\). Löse nach der Bildweite \(b\) auf und gib an, für welchen Wert von \(g\) die Gleichung keine Lösung besitzt.
Lösung
\(\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{g} = \dfrac{g-f}{fg} \quad \Longrightarrow \quad b = \dfrac{f\,g}{g-f}\)
Keine Lösung für \(g = f\): dann wird der Nenner null. Aus der Umformung heraus gelesen ist \(\tfrac{1}{b} = \tfrac{1}{f} - \tfrac{1}{f} = 0\), und das ist für kein \(b\) erfüllbar — \(\tfrac{1}{b}\) wird nie null, so gross man \(b\) auch macht.
Optisch: Der Gegenstand liegt genau im Brennpunkt, das Licht tritt parallel aus und es entsteht kein Bild.
0.5 P für die Umstellung, 0.5 P für die Bedingung \(g \neq f\) mit Begründung.
Zu früh umkehren. \(\dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{g}\) ist nicht \(\dfrac{1}{f-g}\). Der Kehrwert einer Differenz ist nicht die Differenz der Kehrwerte — umkehren darf man erst, wenn auf jeder Seite genau ein Bruch steht.
C6 — Parameter, zwei Fälle
Ab hier ist \(a\) eine feste, aber unbekannte Zahl und \(x\) die Unbekannte. Das Verfahren ändert sich nicht: alles mit \(x\) nach links, \(x\) ausklammern — und dann entscheidet der Faktor davor.
Aufgabe C6 · 2 P
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C6(2 P)\(a \in \mathbb{R}\) ist ein Parameter. Löse nach \(x\) auf und führe eine vollständige Fallunterscheidung durch: \(\ 3(ax+2) = a(x+4) + 2x\)
Lösung
Beide Seiten ausmultiplizieren und nach \(x\) sortieren:
\(3ax + 6 = ax + 4a + 2x\)
\(3ax - ax - 2x = 4a - 6\)
\((2a-2)\,x = 4a-6\)
Fall 1: \(a \neq 1\). Dann ist \(2a-2 \neq 0\), man darf teilen:
\(x = \dfrac{4a-6}{2a-2} = \dfrac{2(2a-3)}{2(a-1)} = \dfrac{2a-3}{a-1}\)
\(L = \left\{\dfrac{2a-3}{a-1}\right\}\)
Fall 2: \(a = 1\). Dann steht \(0 \cdot x = -2\) — falsch für jedes \(x\):
\(L = \{\ \}\)
Die Bedingung \(a \neq 1\) gehört zur Antwort von Fall 1 dazu. Und der kritische Wert wird nicht behauptet, sondern eingesetzt.
1 P für das Sortieren bis \((2a-2)x = 4a-6\), 0.5 P für Fall 1 inklusive Kürzen, 0.5 P für Fall 2.
C7 — Parameter, drei Fälle
Dieselbe Mechanik wie C6, aber der Faktor vor \(x\) ist hier ein Produkt zweier Klammern. Zwei Klammern heissen zwei kritische Werte — und mit dem Normalfall zusammen drei Fälle. Genau dafür gibt es drei Punkte.
Aufgabe C7 · 3 P
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C7(3 P)\(a \in \mathbb{R}\) ist ein Parameter. Löse nach \(x\) auf und führe eine vollständige Fallunterscheidung durch: \(\ a(ax+2) = 4x + a + 2\)
Lösung
Ausmultiplizieren und nach \(x\) sortieren:
\(a^2x + 2a = 4x + a + 2\)
\(a^2x - 4x = a + 2 - 2a = -(a-2)\)
\(\left(a^2-4\right)x = -(a-2)\), also \((a-2)(a+2)\,x = -(a-2)\)
Fall 1: \(a \neq 2\) und \(a \neq -2\). Beide Klammern sind ungleich null, \(a-2\) kürzt sich:
\(x = \dfrac{-(a-2)}{(a-2)(a+2)} = -\dfrac{1}{a+2}\)
\(L = \left\{-\dfrac{1}{a+2}\right\}\)
Fall 2: \(a = 2\). \(0 \cdot x = 0\), allgemeingültig: \(L = \mathbb{R}\)
Fall 3: \(a = -2\). \(0 \cdot x = 4\), falsch: \(L = \{\ \}\)
Die rechte Seite wird bewusst als \(-(a-2)\) geschrieben, weil links dieselbe Klammer auftaucht — nur so sieht man das Kürzen. Und in Fall 3 wird aus \(-(a-2)\) bei \(a=-2\) der Wert \(+4\); das Vorzeichen entscheidet hier über die Antwort.
1 P für das Sortieren und Faktorisieren bis \((a-2)(a+2)x = -(a-2)\), 1 P für Fall 1 inklusive Kürzen und Vorzeichen, je 0.5 P für Fall 2 und Fall 3.
In \(k \cdot x = m\) hängen hier beide Seiten am Parameter: \(k = (a-2)(a+2)\) und \(m = -(a-2)\). Für \(a=2\) werden beide null — das ist Fall 2, \(L = \mathbb{R}\). Für \(a=-2\) wird nur \(k\) null, \(m\) aber \(4\) — das ist Fall 3, \(L = \{\ \}\). Die Tabelle am Anfang von Teil C sagt genau das voraus.
Auswertung
Zähl die Punkte deiner eigenen Lösung zusammen — nach den orangen Zeilen unter den Musterlösungen, nicht nach dem Gefühl.
| Teil | Aufgaben | Punkte |
|---|---|---|
| A · Arithmetik | A1 – A4 | 4 |
| B · Algebra | B1 – B4 | 6 |
| C · Gleichungen und Ungleichungen | C1 – C7 | 13 |
| Total | 26 Teilaufgaben | 23 |
| 20 – 23 P | Sitzt. Die Prüfung ist bewusst anspruchsvoller angelegt als die richtige — du bist bereit. |
| 15 – 19 P | Gut. Schau die zwei, drei Aufgabentypen an, bei denen es geharzt hat, und rechne sie mit anderen Zahlen noch einmal. |
| 10 – 14 P | Die Verfahren sind da, die Vorzeichen noch nicht. Geh Teil C von vorn durch — die Tabelle mit den drei Ausgängen ist der Schlüssel zu sechs der sieben Aufgaben. |
| 0 – 9 P | Zurück zu den Grundlagen: Klammern auflösen und Faktorisieren (B1, B2, B3), erst danach wieder Teil C. Ohne sicheres Faktorisieren ist Teil C nicht zu retten. |
| A1a | Die Schreibweise statt der Zahl einordnen — erst vereinfachen. |
| A4a | Nicht normierte Mantisse: \(40\cdot 10^{2}\) statt \(4\cdot 10^{3}\). |
| B1a | Nach dem ersten Schritt aufhören — «vollständig» heisst noch einmal hinsehen. |
| B2 | Das Kürzen am Schluss vergessen. |
| C2a | Das Relationszeichen beim Teilen durch \(-1\) nicht drehen. Kostet den ganzen Punkt. |
| C4 | \(D\) nicht bestimmt und die Scheinlösung \(x=2\) als Lösung angegeben. |