12 Aufgaben — alle auch ohne Hilfsmittel lösbar.
Klassifiziere als Monom / Polynom / rationaler Term / Wurzelterm:
(a) \(4x^3y\)
(b) \(\dfrac{2}{x+1}\)
(c) \(x^2 - 5x + 6\)
(d) \(\sqrt{2x+3}\)
Im Polynom \(7x^4 - 3x^2 + 2x - 9\): Wie viele Glieder? Welche Koeffizienten? Welcher Grad? Welches konstante Glied?
Vereinfache:
(a) \(5x + 3y - 2x + 4y\)
(b) \(7a^2 - 3a + a^2 + 5a - 4\)
(c) \(2xy + 3x^2 - 5xy + x^2\)
Löse die Klammer auf und fasse zusammen:
(a) \(8 - (3x - 5)\)
(b) \(2(x + 4) - 3(x - 1)\)
Multipliziere aus:
(a) \((x+5)(x-2)\)
(b) \((2x-3)(x+4)\)
(c) \((a+b)(a+b+c)\)
Wende die passende binomische Formel an:
(a) \((x+7)^2\)
(b) \((2a-3)^2\)
(c) \((x+5)(x-5)\)
Welche binomische Formel steckt dahinter? Schreibe als Quadrat oder Produkt:
(a) \(x^2 + 12x + 36\)
(b) \(y^2 - 14y + 49\)
(c) \(x^2 - 81\)
Klammere den grössten gemeinsamen Faktor aus:
(a) \(12x^2 - 18x\)
(b) \(5a^2b + 10ab^2\)
(c) \(6x^3 - 9x^2 + 3x\)
Faktorisiere mit binomischer Formel:
(a) \(x^2 - 49\)
(b) \(4a^2 - 25\)
(c) \(x^2 + 8x + 16\)
Faktorisiere kombiniert (erst ausklammern, dann binomisch):
(a) \(3x^2 - 27\)
(b) \(2y^2 + 12y + 18\)
Berechne den Termwert für \(x = -2\):
(a) \(3x^2 - 5x + 1\)
(b) \((x+3)(x-1)\)
Vereinfache und berechne dann für \(a=3, b=-1\): \(\quad (a+b)^2 - (a-b)^2\). Tipp: zuerst allgemein vereinfachen!
1. (a) Monom — (b) rationaler Term — (c) Polynom — (d) Wurzelterm
2. 4 Glieder; Koeffizienten \(7, -3, 2, -9\); Grad \(4\); konstantes Glied \(-9\)
3. (a) \(3x + 7y\) — (b) \(8a^2 + 2a - 4\) — (c) \(4x^2 - 3xy\)
4. (a) \(8 - 3x + 5 = 13 - 3x\) — (b) \(2x + 8 - 3x + 3 = -x + 11\)
5. (a) \(x^2 - 2x + 5x - 10 = x^2 + 3x - 10\) — (b) \(2x^2 + 8x - 3x - 12 = 2x^2 + 5x - 12\) — (c) Schrittweise: \((a+b)(a+b+c) = a(a+b+c) + b(a+b+c) = a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc = a^2 + 2ab + b^2 + ac + bc\)
6. (a) \(x^2 + 14x + 49\) — (b) \(4a^2 - 12a + 9\) — (c) \(x^2 - 25\)
7. (a) \((x+6)^2\) — (b) \((y-7)^2\) — (c) \((x+9)(x-9)\)
8. (a) \(6x(2x - 3)\) — (b) \(5ab(a + 2b)\) — (c) \(3x(2x^2 - 3x + 1)\). Vollständig faktorisiert ergibt (c) sogar \(3x(x - 1)(2x - 1)\) — der quadratische Faktor lässt sich mit der Mitternachtsformel oder durch geschicktes Probieren weiter zerlegen; das wird in 2.2 (Quadratische Gleichungen) systematisch behandelt.
9. (a) \((x+7)(x-7)\) — (b) \((2a+5)(2a-5)\) — (c) \((x+4)^2\)
10. (a) \(3(x^2 - 9) = 3(x+3)(x-3)\) — (b) \(2(y^2 + 6y + 9) = 2(y+3)^2\)
11. (a) \(3 \cdot 4 - 5 \cdot (-2) + 1 = 12 + 10 + 1 = 23\) — (b) \((-2+3)(-2-1) = 1 \cdot (-3) = -3\)
12. Allgemein: \((a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = 4ab\). Für \(a=3, b=-1\): \(4 \cdot 3 \cdot (-1) = -12\). Strategie: Symbolisch vereinfachen, dann erst einsetzen — direktes Einsetzen vor der Vereinfachung würde \((3-1)^2 - (3+1)^2 = 4 - 16 = -12\) erfordern (zwei Klammerquadrate ausrechnen). Beide Wege führen zum selben Ergebnis, aber der symbolische ist robuster gegen Vorzeichenfehler und macht die Struktur sichtbar.