12 Aufgaben — Begriffe, Modellieren, Äquivalenzumformungen, Probe und Typerkennung.
12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 40-50 Minuten.
Vervollständige die Definition:
Ordne jeder Aussageform den passenden Begriff zu (Gleichung · Ungleichung · Gleichungssystem · Identität).
| a) | \(3 \cdot x + 5 \leq 14\) | |
| b) | \((x+2)^2 = x^2 + 4x + 4\) | |
| c) | \(x + y = 7,\quad 2x - y = 2\) | |
| d) | \(4 \cdot x + 3 = 15\) |
Welche Werte aus \(\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}\) sind Lösungen der Gleichung \(x^2 = x + 2\)? Notiere die Lösungsmenge \(\mathbb{L}\).
Vier gleiche Pakete und 3 kg Werkzeug wiegen zusammen 15 kg. Stelle eine Gleichung für die Masse \(x\) eines Pakets auf und löse sie.
Eine Werkstatt mietet ein Gerät: 45 Fr. Grundgebühr und 12 Fr. pro Stunde. Stelle eine Gleichung für die Mietzeit \(t\) (in h) auf, wenn die Gesamtkosten 117 Fr. betragen sollen.
Ein Aufzug trägt höchstens 630 kg. Drei Personen mit je 75 kg möchten zusätzlich Pakete von je \(x\) kg transportieren. Wie viele Pakete \(n\) dürfen es höchstens sein? Formuliere die Ungleichung in Abhängigkeit von \(n\) und \(x\).
Notiere für jeden Schritt die Äquivalenzumformung (rechte Spalte):
| \(5 \cdot x - 7 = 18\) | ||
| \(5 \cdot x = 25\) | ||
| \(x = 5\) |
In welcher Zeile steckt der Fehler? Schreibe die korrigierte Lösung daneben.
Bestimme den Typ jeder Gleichung (linear · quadratisch · Bruch · Wurzel).
| a) | \(\sqrt{x + 5} = 4\) | |
| b) | \(2 \cdot x^2 - 8 = 0\) | |
| c) | \(\dfrac{6}{x - 1} = 2\) | |
| d) | \(7 \cdot x + 3 = 24\) |
Führe die Probe für die behauptete Lösung \(x_0 = 4\) der Gleichung \(3 \cdot x - 5 = 2 \cdot x - 1\) durch. Ist \(x_0\) tatsächlich Lösung?
Aus einem Draht der Länge 84 cm wird ein Rechteck gebogen, bei dem die Länge 6 cm grösser ist als die Breite. Bestimme Länge und Breite.
Quadrieren beider Seiten der Gleichung \(\sqrt{x + 7} = x - 5\) liefert \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 9\). Welche der beiden Werte ist tatsächlich Lösung? Begründe mit der Probe.
Eine Gleichung ist die Aussage, dass zwei Terme denselben Wert haben. Ein Wert, der die Gleichung wahr macht, heisst Lösung; alle Lösungen zusammen bilden die Lösungsmenge \(\mathbb{L}\).
a) Ungleichung | b) Identität | c) Gleichungssystem | d) Gleichung
Beachte: Eine Gleichung wie \((x+2)^2 = x^2 + 4x + 4\), die für alle \(x\) wahr ist, heisst Identität. Derselbe Begriff wird in Kap. 2.2a als Fall 3 einer linearen Gleichung wieder aufgegriffen (Lösungsmenge \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\)).
Einsetzen aller Kandidaten in \(x^2 - x - 2 = 0\): nur \(x = -1\) und \(x = 2\) erfüllen die Gleichung. Also \(\mathbb{L} = \{-1,\, 2\}\).
Gleichung: \(4 \cdot x + 3 = 15\). Auflösen: \(4 \cdot x = 12\), also \(x = 3\) kg. \(\mathbb{L} = \{3\}\). Probe: \(4 \cdot 3 + 3 = 15\) ✓.
Gleichung: \(45 + 12 \cdot t = 117\). Auflösen: \(12 \cdot t = 72\), also \(t = 6\) h.
Probe: \(45 + 12 \cdot 6 = 45 + 72 = 117\,\text{Fr.}\) ✓ Stimmt mit der Vorgabe.
Ungleichung: \(3 \cdot 75 + n \cdot x \leq 630\), also \(n \cdot x \leq 405\) bzw. \(n \leq \dfrac{405}{x}\) (für \(x > 0\)).
Schritt 1 → 2: \(+\,7\) auf beiden Seiten. | Schritt 2 → 3: beide Seiten durch \(5\) dividieren.
Fehler in Zeile 4: bei der Division durch \(-1\) wechselt das Vorzeichen auf beiden Seiten. Aus \(-x = -12\) folgt also \(x = 12\), nicht \(x = -12\). Korrigierter Schluss:
\(2 \cdot x + 8 = 3 \cdot x - 4\)
\(2 \cdot x = 3 \cdot x - 12\) | \(-8\)
\(-x = -12\) | \(-3 \cdot x\)
\(x = 12\) | \(:(-1)\), also \(\mathbb{L} = \{12\}\).
Probe: \(2 \cdot 12 + 8 = 32\), \(3 \cdot 12 - 4 = 32\) ✓.
Merkregel — Vorzeichen bei Division durch −1: bei der Umformung \(\mid : (-1)\) (oder \(\mid \cdot (-1)\)) wechseln alle Vorzeichen auf beiden Seiten gleichzeitig. Aus \(-x = -12\) wird \(x = 12\), aus \(-3 \cdot x = 6\) wird \(3 \cdot x = -6\) usw. Wer nur eine Seite umkehrt, vertauscht die Lösung mit ihrem Negativen — eine der häufigsten Quellen für falsche Vorzeichen-Ergebnisse.
a) Wurzelgleichung | b) quadratisch | c) Bruchgleichung | d) linear
Linke Seite: \(3 \cdot 4 - 5 = 7\). Rechte Seite: \(2 \cdot 4 - 1 = 7\). Beide Seiten gleich, also ist \(x_0 = 4\) tatsächlich Lösung.
Sei \(b\) die Breite, dann ist die Länge \(b + 6\). Umfang: \(2 \cdot (b + b + 6) = 84\). Auflösen: \(4 \cdot b + 12 = 84\), \(4 \cdot b = 72\), also \(b = 18\) cm. Länge \(= 24\) cm. Probe: \(2 \cdot (18 + 24) = 84\) ✓.
Probe \(x_1 = 2\): \(\sqrt{2 + 7} = \sqrt{9} = 3\), aber \(2 - 5 = -3\). Beide Seiten haben
nicht denselben Wert (\(3 \neq -3\)) → Scheinlösung.
Probe \(x_2 = 9\): \(\sqrt{9 + 7} = \sqrt{16} = 4\), und \(9 - 5 = 4\) ✓ → echte Lösung.
Also \(\mathbb{L} = \{9\}\). Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung; deshalb war die Probe
Pflicht.
Zweite Erkennungsmethode — Vorzeichen-Bedingung: bei einer Gleichung der Form \(\sqrt{f(x)} = r(x)\) muss die rechte Seite \(r(x)\) selbst nicht-negativ sein, denn die Quadratwurzel liefert stets einen nicht-negativen Wert. Hier ist \(r(x) = x - 5\). Bedingung: \(x - 5 \ge 0\), also \(x \ge 5\). Damit ist \(x_1 = 2 < 5\) sofort als Scheinlösung erkennbar — ohne die Probe einsetzen zu müssen. \(x_2 = 9 \ge 5\) muss noch normal geprüft werden. Diese Vorzeichen-Prüfung erspart oft eine fehleranfällige Probe-Rechnung.