So arbeitest du
- ① Clip anschauen.
- ② Tüfteln: Aufgaben in der Animation lösen — sie zeigt ✓, wenn es stimmt.
- ③ Kontrollfragen: Der Clip hält an. Erst antworten.
- ④ Üben mit Rückmeldung, bis drei in Folge sitzen.
- ⑤ Aufgaben auf Papier, dann Lösung aufklappen und abhaken.
Kompetenzen nach Lehrplan
RLP-BM 2030, Grundlagenfach 3.3
- K1 Darstellungsformen (Grund-, Scheitel-, Produktform) erläutern und ineinander überführen auch ohne Hilfsmittel
- K2 die Darstellungsformen geometrisch interpretieren (Öffnung, Nullstellen, Scheitelpunkt, Achsenabschnitte) auch ohne Hilfsmittel
- K3 die Funktionsgleichung aufstellen
- K4 Extremwertaufgaben lösen auch ohne Hilfsmittel
Vorwissen
Einsetzen, Klammer quadrieren, quadratische Gleichung lösen. Wenn das wackelt: Leitprogramm Quadratische Gleichungen.
Vortest · 10 P
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0a(2 P)\(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\): \(f(-2)\) und \(f(0.5)\)?
Lösung
\(15\) und \(0\).
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0b(3 P)Ausmultiplizieren: \((x-3)^2\), \(2(x+1)^2 - 5\), \((x+2)(x-5)\).
Lösung
\(x^2 - 6x + 9\), \(2x^2 + 4x - 3\), \(x^2 - 3x - 10\).
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0c(3 P)Löse \(x^2 - 2x - 8 = 0\).
Lösung
\((x-4)(x+2) = 0\): \(\mathbb{L} = \{-2;\ 4\}\).
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0d(2 P)Löse \(2x^2 + 3x - 2 = 0\).
Lösung
\(x_{1,2} = \dfrac{-3 \pm 5}{4}\): \(\mathbb{L} = \{-2;\ 0.5\}\).
Die Parabel bewegen
Du liest aus \(f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s\) Scheitel, Öffnung und Streckung ab — und umgekehrt die Gleichung aus dem Graphen.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
\[ f(x) = a\,(x - x_s)^2 + y_s \quad\Longrightarrow\quad S(x_s \mid y_s) \]
\(x_s\) steht in der Klammer mit umgekehrtem Vorzeichen, \(y_s\) dahinter mit eigenem. \(a\) verschiebt nichts: \(a \gt 0\) nach oben, \(a \lt 0\) nach unten, \(|a| \gt 1\) schmaler, \(|a| \lt 1\) breiter.
Auf der Themenseite heissen \(x_s\) und \(y_s\) auch \(u\) und \(v\).
\(f(x) = (x + 4)^2 - 1\) hat den Scheitel \(S(-4 \mid -1)\), nicht \(S(4 \mid -1)\).
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 1 · 9 P
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1a(4 P)Welcher Graph gehört zu welcher Gleichung? (1) \((x-1)^2 + 2\) (2) \(-(x+2)^2 + 1\) (3) \(2x^2 - 3\) (4) \(0.5(x-3)^2\)
Lösung
(1) → C, (2) → A, (3) → D, (4) → B.
Am schnellsten über den Scheitel; A ist die einzige nach unten geöffnete.
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1b(3 P)Scheitelform der Parabel? (Punkte auf Gitterpunkten)
Lösung
\(S(-2 \mid -3)\); ein Schritt rechts geht es 2 hinauf, also \(a = 2\): \(f(x) = 2(x+2)^2 - 3\).
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1c(2 P)Wertemenge von \(f(x) = -2(x-1)^2 + 6\)?
Lösung
Nach unten geöffnet, höchster Wert \(6\): \(W = \left]-\infty;\ 6\right]\).
Mehr dazu: Themenseite 3.3, Definition und Parameter
Drei Formen, eine Parabel
Du erklärst, was Grund-, Scheitel- und Produktform im Bild zeigen, und formst ohne Rechner um.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
| Form | Gleichung | Im Bild direkt |
|---|---|---|
| Grundform | \(ax^2 + bx + c\) | \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid c)\) |
| Scheitelform | \(a(x - x_s)^2 + y_s\) | Scheitel \(S(x_s \mid y_s)\) |
| Produktform | \(a(x - x_1)(x - x_2)\) | Nullstellen \(x_1,\ x_2\) — nur wenn es welche gibt |
Zur Grundform: ausmultiplizieren. Zur Scheitelform: quadratisch ergänzen. Zur Produktform: Nullstellen bestimmen. \(a\) bleibt überall gleich.
\((x - 3)^2 + 2\) ist nicht \(x^2 - 3x + 2\), sondern \(x^2 - 6x + 11\).
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 2 · 10 P
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2a(3 P)In die Grundform: \(-(x+3)^2 + 4\) und \(2(x-1)(x+4)\).
Lösung
\(-x^2 - 6x - 5\) und \(2x^2 + 6x - 8\).
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2b(3 P)Scheitelform von \(x^2 + 6x + 5\)?
Lösung
\(x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x+3)^2 - 4\), \(S(-3 \mid -4)\).
-
2c(2 P)Produktform von \(x^2 + x - 12\)?
Lösung
\((x+4)(x-3)\).
-
2d(2 P)Warum hat \(x^2 + 2x + 5\) keine Produktform?
Lösung
\((x+1)^2 + 4 \geq 4\): keine Nullstellen.
Mehr dazu: Themenseite 3.3, Die drei Darstellungen
Nullstellen und Scheitel berechnen
Du bestimmst aus der Grundform Scheitel und Nullstellen und sagst mit \(D\) voraus, wie viele es gibt.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
\[ x_s = -\frac{b}{2a}, \qquad y_s = f(x_s), \qquad D = b^2 - 4ac \]
\(D \gt 0\): zwei Nullstellen · \(D = 0\): eine · \(D \lt 0\): keine. Die Nullstellen liegen spiegelbildlich zur Symmetrieachse \(x = x_s\).
Bei \(b = -4\) ist \(x_s = -\frac{-4}{2} = +2\). Das Minus vor dem Bruch nicht vergessen.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 3 · 10 P
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3a(3 P)Achsenschnittpunkte und Scheitel von \(x^2 - 6x + 8\).
Lösung
\((2 \mid 0)\), \((4 \mid 0)\), \((0 \mid 8)\); \(S(3 \mid -1)\).
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3b(3 P)Scheitel und Nullstellen von \(-2x^2 + 8x - 6\).
Lösung
\(S(2 \mid 2)\), Maximum; \(-2(x-1)(x-3)\): Nullstellen \(1\) und \(3\).
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3c(2 P)Anzahl Nullstellen ohne Rechnen: \(x^2 + 4x + 5\) und \(4x^2 - 4x + 1\).
Lösung
\(D = -4\): keine. \(D = 0\): eine, bei \(x = 0.5\).
-
3d(2 P)Ist \(D\) positiv, null oder negativ?
Lösung
P: \(D \gt 0\). Q: \(D = 0\). R: \(D \lt 0\).
Mehr dazu: Themenseite 3.3, Diskriminante · Leitprogramm Quadratische Gleichungen
Die Funktionsgleichung aufstellen
Du wählst den passenden Ansatz und bestimmst \(a\) mit einem Punkt.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
| Gegeben | Ansatz | Dann |
|---|---|---|
| Scheitel + Punkt | \(a(x - x_s)^2 + y_s\) | Punkt einsetzen → \(a\) |
| Nullstellen + Punkt | \(a(x - x_1)(x - x_2)\) | Punkt einsetzen → \(a\) |
| drei Punkte | \(ax^2 + bx + c\) | drei Gleichungen → \(a, b, c\) |
Zu \(S(-1 \mid 4)\) gehört \(a(x+1)^2 + 4\), nicht \(a(x-1)^2 + 4\).
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 4 · 12 P
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4a(3 P)Scheitel \(S(-2 \mid 3)\), Punkt \(P(0 \mid -5)\).
Lösung
\(-5 = 4a + 3\), \(a = -2\): \(f(x) = -2(x+2)^2 + 3\).
-
4b(3 P)Nullstellen \(-3\) und \(1\), \(y\)-Achsenabschnitt \(6\).
Lösung
\(6 = a \cdot 3 \cdot (-1)\), \(a = -2\): \(f(x) = -2(x+3)(x-1)\).
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4c(3 P)Torbogen: unten 6 m breit, in der Mitte 4.5 m hoch. Ursprung in der Mitte am Boden. Gleichung und Höhe 2 m neben der Mitte?
Lösung
\(f(x) = -0.5x^2 + 4.5\), \(f(2) = 2.5\) m.
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4d(3 P)Gleichung der Parabel? (Punkte auf Gitterpunkten)
Lösung
\(S(1 \mid 4)\), mit \((3 \mid 0)\): \(a = -1\). \(f(x) = -(x-1)^2 + 4\).
Extremwertaufgaben
Du findest das Maximum einer Sachaufgabe ohne Rechner — und nennst Stelle und Wert.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
1. Zielgrösse als Funktion einer Variablen · 2. Nullstellen ablesen · 3. Mitte = Stelle des Maximums · 4. Antwort mit Stelle und Wert.
\(x = 10\) ist nicht die grösste Fläche. Gefragt ist \(A(10) = 100\) m².
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 5 · 10 P
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5a(4 P)Beet an einer Mauer, 60 m Zaun für die drei anderen Seiten. Grösste Fläche?
Lösung
\(A(x) = x(60 - 2x)\), Mitte \(x = 15\): 15 m × 30 m, 450 m².
-
5b(4 P)30 CHF Eintritt, 200 Besucher; jeder Franken mehr kostet 5 Besucher. Bester Preis, grösste Einnahme?
Lösung
\((30 + x)(200 - 5x)\), Nullstellen \(-30\) und \(40\), Mitte \(5\): 35 CHF, 6125 CHF.
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5c(2 P)Zwei Zahlen mit Summe 14: Wann ist ihr Produkt am grössten?
Lösung
\(x(14 - x)\): beide 7, Produkt 49.
Mehr dazu: Themenseite 3.3, Extremwertaufgabe
Gesamttest
⬇ Gesamttest (PDF)
⬇ Bewertungspaket (PDF)
| 21 – 24 P | Sitzt. |
| 16 – 20 P | Den schwächsten Teil nochmals: Simulation und Übungen des Kapitels. |
| 10 – 15 P | Teil A → Kapitel 1–3, Teil B → Kapitel 4, Teil C → Kapitel 5. |
| 0 – 9 P | Zurück zu Kapitel 1. |