So arbeitest du
- ① Clip anschauen.
- ② Tüfteln: Im Arbeitsbereich veränderst du die Figur, tippst Seiten oder Hilfslinien an und gibst Ergebnisse ein — er zeigt ✓, wenn es stimmt.
- ③ Kontrollfragen: Der Clip hält an. Erst antworten.
- ④ Üben mit Rückmeldung, bis drei in Folge sitzen.
- ⑤ Aufgaben auf Papier, mit Skizze, dann Lösung aufklappen und abhaken.
Taschenrechner im Gradmodus (DEG). Längen und Winkel auf zwei Dezimalen runden, Zwischenresultate ungerundet weiterverwenden.
Kompetenzen
RLP-BM 2030, Grundlagenfach, Teilgebiet 5.3 — Taschenrechner erlaubt:
- K1 Berechnungen im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck mithilfe der trigonometrischen Funktionen durchführen — im rechtwinkligen Dreieck Kapitel 1–3, im allgemeinen Dreieck Kapitel 4–5. Winkel in Grad.
Nicht hier: Einheitskreis, besondere Winkel ohne Rechner und Bogenmass — Leitprogramm Einheitskreis (5.4); Spezialwinkel, Beziehungen und die Umkreis-Herleitung — Themenseite 5.3.
Vorwissen
Satz des Pythagoras, ähnliche Dreiecke, Winkelsumme, Beschriftung und einfache Verhältnisgleichungen. Wenn das wackelt: Leitprogramm Planimetrie (Kapitel 1, 3 und 5).
Vortest · 10 P
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0a(2 P)Rechtwinkliges Dreieck: (a) Katheten \(9\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\) — Hypotenuse? (b) Hypotenuse \(13\,\text{cm}\), eine Kathete \(5\,\text{cm}\) — andere Kathete?
Lösung
(a) \(\sqrt{81 + 144} = 15\,\text{cm}\). (b) \(\sqrt{169 - 25} = 12\,\text{cm}\).
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0b(2 P)Ein Dreieck mit den Seiten \(3\), \(4\) und \(5\,\text{cm}\) wird mit \(k = 2.5\) vergrössert. Wie lang sind die Bildseiten? Wie gross ist im Bild das Verhältnis der kürzesten zur längsten Seite?
Lösung
\(7.5\), \(10\), \(12.5\,\text{cm}\). \(\tfrac{7.5}{12.5} = 0.6 = \tfrac{3}{5}\) — dasselbe wie im Original.
Ähnliche Figuren haben dieselben Seitenverhältnisse: Darauf baut Kapitel 1.
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0c(2 P)(a) In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein spitzer Winkel \(34°\). Wie gross ist der andere? (b) \(\alpha = 47°\), \(\beta = 68°\): \(\gamma = {?}\)
Lösung
(a) \(90° - 34° = 56°\). (b) \(180° - 47° - 68° = 65°\).
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0d(2 P)Löse: (a) \(\dfrac{x}{7} = 0.6\) (b) \(\dfrac{5}{x} = 0.4\)
Lösung
(a) \(x = 7 \cdot 0.6 = 4.2\). (b) \(x = \tfrac{5}{0.4} = 12.5\).
Steht \(x\) unten im Bruch, wird geteilt — genau das braucht Kapitel 1.
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0e(2 P)Im Dreieck \(ABC\): Welche Seite liegt der Ecke \(A\) gegenüber? Bei welcher Ecke liegt \(\beta\)?
Lösung
Die Seite \(a = \overline{BC}\); \(\beta\) liegt bei \(B\).
Weniger als 7 von 10 Punkten: zuerst die verlinkten Stellen im Leitprogramm Planimetrie, dann Kapitel 1.
Sinus, Cosinus und Tangens
Du benennst die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks vom Winkel aus, kennst Sinus, Cosinus und Tangens als Seitenverhältnisse und berechnest damit eine fehlende Seite.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Im rechtwinkligen Dreieck benennt man die Seiten vom betrachteten spitzen Winkel \(x\) aus: Die Hypotenuse \(H\) liegt dem rechten Winkel gegenüber (die längste Seite), die Gegenkathete \(GK\) liegt \(x\) gegenüber, die Ankathete \(AK\) liegt an \(x\) an.
\[ \sin x = \frac{GK}{H} \qquad \cos x = \frac{AK}{H} \qquad \tan x = \frac{GK}{AK} \]
Alle rechtwinkligen Dreiecke mit demselben Winkel \(x\) sind ähnlich: Die Verhältnisse hängen nur von \(x\) ab, nicht von der Grösse des Dreiecks.
Seite berechnen: Seiten vom Winkel aus benennen → die Funktion wählen, die gegebene und gesuchte Seite verbindet → umstellen. Steht die gesuchte Seite oben im Bruch, wird multipliziert (\(GK = H \cdot \sin x\)), steht sie unten, wird geteilt (\(H = \tfrac{AK}{\cos x}\)).
Im Standarddreieck mit dem rechten Winkel bei \(C\): \(\sin\alpha = \tfrac{a}{c}\), \(\cos\alpha = \tfrac{b}{c}\), \(\tan\alpha = \tfrac{a}{b}\). Liegt der Winkel bei \(B\), tauschen Gegen- und Ankathete die Rollen. Rechner im Gradmodus (DEG).
Gegen- und Ankathete vom falschen Winkel aus benennen.
Multiplizieren statt teilen: Die Hypotenuse ist die längste Seite. Ist dein \(H\) kürzer als eine Kathete, hast du falsch umgestellt.
Rechner im Bogenmass (RAD): \(\sin 40\) gibt dann \(0.745\) statt \(\sin 40° \approx 0.643\).
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 1 · 12 P
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1a(2 P)Im Bild liegt der rechte Winkel bei \(R\). Benenne Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse des Winkels \(\varphi\) bei \(P\). Welche Rolle hat die Seite \(PR\) für den Winkel bei \(Q\)?
Lösung
Von \(\varphi\) aus: \(GK = QR\), \(AK = PR\), \(H = PQ\). Für den Winkel bei \(Q\) liegt \(PR\) gegenüber: Sie ist dort die Gegenkathete.
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1b(3 P)Rechtwinkliges Dreieck mit \(\gamma = 90°\), \(\alpha = 28°\) und \(c = 15\,\text{cm}\). Berechne \(a\) und \(b\) und mach die Probe mit Pythagoras.
Lösung
\(a = 15 \cdot \sin 28° \approx 7.04\,\text{cm}\); \(b = 15 \cdot \cos 28° \approx 13.24\,\text{cm}\). Probe: \(7.04^2 + 13.24^2 \approx 225 = 15^2\).
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1c(3 P)Rechtwinkliges Dreieck mit \(\gamma = 90°\), \(\beta = 62°\) und \(a = 9\,\text{cm}\). Berechne \(c\) und \(b\).
Lösung
Von \(\beta\) aus ist \(a\) die Ankathete und \(b\) die Gegenkathete. \(c = \tfrac{9}{\cos 62°} \approx 19.17\,\text{cm}\); \(b = 9 \cdot \tan 62° \approx 16.93\,\text{cm}\).
Wer \(a\) als Gegenkathete nimmt, hat die Seiten vom Winkel \(\alpha\) aus benannt.
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1d(2 P)Warum hängt \(\sin x\) nur vom Winkel \(x\) ab und nicht von der Grösse des Dreiecks?
Lösung
Alle rechtwinkligen Dreiecke mit demselben Winkel \(x\) haben dieselben Winkel, sind also ähnlich. Ihre Seiten sind mit demselben Faktor gestreckt; der Bruch \(\tfrac{GK}{H}\) bleibt gleich.
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1e(2 P)Was ist an dieser Lösung falsch? «\(x = 50°\), \(GK = 6\,\text{cm}\), gesucht \(H\): \(H = 6 \cdot \sin 50° \approx 4.60\,\text{cm}\).» Rechne richtig.
Lösung
Die Hypotenuse kann nicht kürzer sein als die Gegenkathete. Aus \(\sin x = \tfrac{GK}{H}\) folgt \(H = \tfrac{6}{\sin 50°} \approx 7.83\,\text{cm}\) — teilen, nicht multiplizieren.
Mehr dazu: Themenseite 5.3, Definition und Ähnlichkeit
Winkel berechnen
Du berechnest aus zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks den Winkel mit der Umkehrung (\(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\)) und rechnest Steigungen in Winkel um.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Ist das Verhältnis bekannt, liefert die Umkehrung den Winkel — die Arcusfunktionen, auf dem Rechner \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\), \(\tan^{-1}\) (im Gradmodus DEG):
\[ x = \arcsin\frac{GK}{H} \qquad x = \arccos\frac{AK}{H} \qquad x = \arctan\frac{GK}{AK} \]
Hoch minus eins heisst hier Umkehrung, nicht Kehrwert. Probe: \(\tan(\arctan v) = v\). Der andere spitze Winkel ist \(90° - x\).
Steigung = Höhe : waagrechte Strecke \(= \tan x\); in Prozent mal \(100\). Aus \(8\,\%\) wird \(\tan x = 0.08\), also \(x \approx 4.57°\).
Im rechtwinkligen Dreieck liefert der Rechner genau den gesuchten spitzen Winkel. Dass \(\sin^{-1}\) sonst nur einen von mehreren Winkeln zeigt, kommt im Sinussatz (Kapitel 4) und im Teilgebiet 5.4.
Das Verhältnis als Winkel stehen lassen: \(\tan x \approx 0.417\) ist noch nicht \(x\).
Prozent mit Grad verwechseln: \(12\,\%\) Steigung sind \(\tan x = 0.12\), nicht \(12°\).
\(\tan^{-1}\) als Kehrwert \(\tfrac{1}{\tan}\) lesen.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 2 · 12 P
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2a(3 P)Rechtwinkliges Dreieck mit \(\gamma = 90°\), \(a = 9\,\text{cm}\) und \(b = 14\,\text{cm}\). Berechne \(\alpha\), \(\beta\) und \(c\).
Lösung
\(\tan\alpha = \tfrac{9}{14}\), \(\alpha = \arctan\tfrac{9}{14} \approx 32.74°\); \(\beta = 90° - \alpha \approx 57.26°\); \(c = \sqrt{9^2 + 14^2} = \sqrt{277} \approx 16.64\,\text{cm}\).
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2b(2 P)Im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse \(9.5\,\text{cm}\) und die Gegenkathete von \(x\) \(4\,\text{cm}\) lang. Wie gross ist \(x\)?
Lösung
\(\sin x = \tfrac{4}{9.5}\), \(x = \arcsin\tfrac{4}{9.5} \approx 24.90°\).
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2c(3 P)Eine Bergbahn überwindet auf \(800\,\text{m}\) waagrechter Strecke \(300\,\text{m}\) Höhe. Wie viel Prozent Steigung sind das, wie gross ist der Steigungswinkel, und wie lang ist die Strecke entlang der Bahn?
Lösung
Steigung \(\tfrac{300}{800} = 0.375 = 37.5\,\%\); \(x = \arctan 0.375 \approx 20.56°\); Strecke \(\sqrt{800^2 + 300^2} \approx 854.40\,\text{m}\) (oder \(\tfrac{800}{\cos x}\)).
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2d(2 P)Warum ist \(\sin^{-1}(0.6)\) nicht dasselbe wie \(\tfrac{1}{\sin(0.6°)}\)?
Lösung
\(\sin^{-1}(0.6)\) ist der Winkel, dessen Sinus \(0.6\) ist: \(\approx 36.87°\). \(\tfrac{1}{\sin(0.6°)} \approx 95.49\) ist der Kehrwert eines Sinuswerts — eine Zahl, kein Winkel.
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2e(2 P)Warum gibt es im rechtwinkligen Dreieck keinen Winkel mit \(\sin x = 1.2\)?
Lösung
\(\sin x = \tfrac{GK}{H}\), und die Gegenkathete ist kürzer als die Hypotenuse. Der Bruch ist darum kleiner als \(1\). (Der Rechner meldet einen Fehler.)
Mehr dazu: Themenseite 5.3, Winkel berechnen — Arcusfunktionen
Höhen und Distanzen
Du übersetzt eine Sachaufgabe in eine Skizze, findest das rechtwinklige Dreieck mit Höhen- oder Tiefenwinkel, berechnest Höhen und Distanzen und prüfst das Ergebnis auf Plausibilität.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Vorgehen: Skizze → rechtwinkliges Dreieck suchen → Seiten vom Winkel aus benennen → Funktion wählen und rechnen → prüfen (Grössenordnung, Einheit).
Der Höhenwinkel wird von der Waagrechten nach oben gemessen, der Tiefenwinkel von der Waagrechten nach unten. Der Tiefenwinkel, unter dem du von oben ein Ziel siehst, ist gleich gross wie der Höhenwinkel, unter dem man vom Ziel aus zu dir hinaufschaut (Wechselwinkel an den beiden Waagrechten).
Baum: \(h = d \cdot \tan\alpha\). Bei \(d = 15\,\text{m}\) und \(\alpha = 52°\) ist \(h \approx 19.20\,\text{m}\). Misst du mit dem Auge, kommt die Augenhöhe dazu.
Plausibel? Bei \(\alpha \lt 45°\) ist \(h \lt d\), bei \(\alpha \gt 45°\) ist \(h \gt d\).
Fuss unerreichbar: Zwei Höhenwinkel \(\alpha\) und \(\beta\) von zwei Standorten im Abstand \(s\) geben zwei Gleichungen: \(\tan\beta = \tfrac{h}{d}\) und \(\tan\alpha = \tfrac{h}{d + s}\). Setze \(h = d \cdot \tan\beta\) in die zweite ein und löse nach \(d\) auf.
Den Abstand am Boden als Hypotenuse nehmen — er ist die Ankathete.
Die Augenhöhe vergessen, wenn die Aufgabe sie nennt.
Den Tiefenwinkel gegen die Senkrechte messen statt gegen die Waagrechte.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 3 · 14 P
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3a(3 P)Eine \(6\,\text{m}\) lange Leiter lehnt an einer Wand und bildet mit dem Boden \(70°\). Skizziere. Wie hoch reicht sie, und wie weit steht ihr Fuss von der Wand?
Lösung
Die Leiter ist die Hypotenuse. Höhe \(6 \cdot \sin 70° \approx 5.64\,\text{m}\); Abstand \(6 \cdot \cos 70° \approx 2.05\,\text{m}\).
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3b(3 P)Von einem \(45\,\text{m}\) hohen Leuchtturm siehst du ein Boot unter dem Tiefenwinkel \(12°\). Wie weit ist das Boot vom Fuss des Turms entfernt?
Lösung
Am Boot ist der Höhenwinkel ebenfalls \(12°\) (Wechselwinkel). \(\tan 12° = \tfrac{45}{d}\), also \(d = \tfrac{45}{\tan 12°} \approx 211.71\,\text{m}\).
Wer \(45 \cdot \tan 12°\) rechnet, hat Gegen- und Ankathete vertauscht.
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3c(4 P)Der Fuss eines Bergs ist unerreichbar. Von \(A\) aus siehst du die Spitze unter \(25°\), von \(B\) aus, \(120\,\text{m}\) näher, unter \(38°\). Wie hoch ist der Berg über der Beobachtungsebene?
Lösung
\(h = d \cdot \tan 38°\) und \(h = (d + 120) \cdot \tan 25°\). Gleichsetzen: \(d\,(\tan 38° - \tan 25°) = 120 \cdot \tan 25°\), also \(d \approx 177.65\,\text{m}\) und \(h = d \cdot \tan 38° \approx 138.80\,\text{m}\).
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3d(2 P)Warum braucht es beim Berg mit unerreichbarem Fuss zwei Messungen?
Lösung
Unbekannt sind die Höhe \(h\) und der Abstand \(d\) zum Fuss. Eine Messung gibt nur eine Gleichung \(\tan\alpha = \tfrac{h}{d}\); für zwei Unbekannte braucht es zwei Gleichungen.
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3e(2 P)Jemand berechnet für einen Turm in \(30\,\text{m}\) Abstand bei einem Höhenwinkel von \(20°\) eine Höhe von \(82.42\,\text{m}\). Woran siehst du ohne Rechnen, dass das nicht stimmt? Was wurde falsch gerechnet?
Lösung
Bei \(\alpha \lt 45°\) ist der Turm niedriger, als man entfernt steht: \(h \lt 30\,\text{m}\). Gerechnet wurde \(\tfrac{30}{\tan 20°}\); richtig ist \(30 \cdot \tan 20° \approx 10.92\,\text{m}\).
Mehr dazu: Themenseite 5.3, Einstieg (Baumhöhe) und Aufgaben A5
Der Sinussatz
Du wendest den Sinussatz im allgemeinen Dreieck an, wenn zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und ein Gegenwinkel gegeben sind, und entscheidest im Fall SSW, ob es kein, ein oder zwei Dreiecke gibt.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Im allgemeinen Dreieck liegt die Seite \(a\) der Ecke \(A\) gegenüber, \(\alpha\) liegt bei \(A\) (ebenso \(b\), \(\beta\) und \(c\), \(\gamma\)); \(\alpha + \beta + \gamma = 180°\).
Die Höhe von \(C\) auf \(c\) ist \(h_c = b \cdot \sin\alpha = a \cdot \sin\beta\). Daraus folgt der Sinussatz:
\[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} \]
Über dem Bruchstrich die Seite, darunter der Sinus ihres Gegenwinkels. Er braucht ein vollständiges Paar aus Seite und Gegenwinkel und eine weitere Angabe: zwei Winkel und eine Seite (WSW, WWS; zuerst den dritten Winkel) oder zwei Seiten und den Gegenwinkel einer davon (SSW).
SSW: Der Rechner liefert nur den spitzen Winkel \(\gamma_1\). Auch \(\gamma_2 = 180° - \gamma_1\) hat denselben Sinus (\(\sin(180° - \gamma) = \sin\gamma\); warum, zeigt der Einheitskreis in 5.4). \(\gamma_2\) gibt ein zweites Dreieck, wenn \(\alpha + \gamma_2 \lt 180°\). Bei spitzem \(\alpha\) entscheidet die Höhe von \(B\) auf den Schenkel von \(\alpha\), \(h = c \cdot \sin\alpha\): \(a \lt h\) kein Dreieck, \(a = h\) eines (rechtwinklig), \(h \lt a \lt c\) zwei, \(a \geq c\) eines. Bei stumpfem oder rechtem \(\alpha\) ist die Gegenseite die längste: \(a \gt c\) eines, sonst keines.
Der Rechner kennt Sinus und Cosinus auch für stumpfe Winkel. Die Themenseite begründet den Sinussatz zusätzlich über den Umkreis: Jeder Quotient ist der Durchmesser \(2r\).
Seite und Winkel falsch paaren: Zu \(a\) gehört \(\alpha\), der Winkel gegenüber.
Bei SSW nur den Rechnerwert nehmen und das zweite Dreieck übersehen — oder umgekehrt einen stumpfen Kandidaten behalten, der mit \(\alpha\) zusammen über \(180°\) kommt.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 4 · 14 P
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4a(3 P)Ein Punkt \(P\) am anderen Flussufer wird von \(A\) und \(B\) aus angepeilt. \(\overline{AB} = 120\,\text{m}\), \(\angle PAB = 58°\), \(\angle PBA = 75°\). Wie weit ist \(P\) von \(A\) und von \(B\) entfernt?
Lösung
Winkel bei \(P\): \(180° - 58° - 75° = 47°\). \(\overline{AP} = \tfrac{120 \cdot \sin 75°}{\sin 47°} \approx 158.49\,\text{m}\); \(\overline{BP} = \tfrac{120 \cdot \sin 58°}{\sin 47°} \approx 139.15\,\text{m}\).
\(\overline{AP}\) liegt dem Winkel bei \(B\) gegenüber — darum \(\sin 75°\).
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4b(3 P)Dreieck mit \(\alpha = 40°\), \(\beta = 65°\) und \(a = 8\,\text{cm}\). Berechne \(\gamma\), \(b\) und \(c\).
Lösung
\(\gamma = 75°\); \(b = \tfrac{8 \cdot \sin 65°}{\sin 40°} \approx 11.28\,\text{cm}\); \(c = \tfrac{8 \cdot \sin 75°}{\sin 40°} \approx 12.02\,\text{cm}\).
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4c(4 P)Dreieck mit \(a = 6\,\text{cm}\), \(c = 9\,\text{cm}\) und \(\alpha = 34°\). Wie viele Dreiecke gibt es? Berechne alle möglichen Winkel \(\gamma\) und je die Seite \(b\).
Lösung
\(\sin\gamma = \tfrac{9 \cdot \sin 34°}{6} \approx 0.8388\): \(\gamma_1 \approx 57.01°\), \(\gamma_2 = 180° - \gamma_1 \approx 122.99°\). Beide passen (\(34° + 122.99° \lt 180°\)): zwei Dreiecke. Dann \(\beta_1 \approx 88.99°\), \(b_1 = \tfrac{6 \cdot \sin\beta_1}{\sin 34°} \approx 10.73\,\text{cm}\); \(\beta_2 \approx 23.01°\), \(b_2 \approx 4.19\,\text{cm}\).
Kontrolle mit der Höhe: \(h = 9 \cdot \sin 34° \approx 5.03 \lt 6 \lt 9\) — zwei Dreiecke.
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4d(2 P)Warum braucht der Sinussatz ein vollständiges Paar aus einer Seite und ihrem Gegenwinkel?
Lösung
Er setzt zwei Brüche «Seite durch Sinus des Gegenwinkels» gleich. Ist kein Bruch vollständig bekannt, enthält jede Gleichung zwei Unbekannte.
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4e(2 P)Fest sind \(\alpha = 40°\) und \(c = 10\,\text{cm}\) (Bild). Für welche Längen der Gegenseite \(a\) gibt es zwei Dreiecke?
Lösung
Höhe \(h = 10 \cdot \sin 40° \approx 6.43\,\text{cm}\). Zwei Dreiecke für \(6.43\,\text{cm} \lt a \lt 10\,\text{cm}\).
Mehr dazu: Themenseite 5.3, Sinussatz (mit der Animation zum Fall SSW)
Cosinussatz und Dreiecksfläche
Du berechnest mit dem Cosinussatz eine Seite (zwei Seiten und Zwischenwinkel) oder einen Winkel (drei Seiten), berechnest die Fläche aus zwei Seiten und dem Zwischenwinkel und wählst den passenden Satz.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Ohne Paar aus Seite und Gegenwinkel — zwei Seiten und der Winkel dazwischen (SWS) oder drei Seiten (SSS) — hilft der Cosinussatz:
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha \]
ebenso \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos\beta\) und \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma\). Links die gesuchte Seite, im Cosinus ihr Gegenwinkel. Bei \(\alpha = 90°\) ist \(\cos\alpha = 0\): der Satz des Pythagoras. Bei stumpfem \(\alpha\) ist \(\cos\alpha \lt 0\), und \(a\) wird länger als beim rechten Winkel.
Drei Seiten: \(\cos\alpha = \tfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\), dann \(\arccos\). Ein negativer Cosinus heisst: \(\alpha\) ist stumpf — das ist genau dann so, wenn \(a^2 \gt b^2 + c^2\).
Fläche aus zwei Seiten und dem Winkel dazwischen: Die Höhe auf \(c\) ist \(h = b \cdot \sin\alpha\), also \(A = \tfrac{b \cdot c}{2} \cdot \sin\alpha\). Die Themenseite schreibt allgemein \(A = \tfrac{p \cdot q}{2}\sin\varphi\).
Welcher Satz? Paar aus Seite und Gegenwinkel vorhanden: Sinussatz. Kein Paar: Cosinussatz — danach ist oft ein Paar vollständig, und der Rest geht mit dem Sinussatz.
Das Korrekturglied \(-2bc \cdot \cos\alpha\) vergessen oder mit falschem Vorzeichen rechnen; die Wurzel am Schluss vergessen.
Einen negativen Cosinus für einen Rechenfehler halten: Er zeigt einen stumpfen Winkel.
Für die Fläche einen Winkel nehmen, der nicht zwischen den beiden Seiten liegt.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 5 · 14 P
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5a(3 P)Von einer Weggabelung führen zwei gerade Wege weg, \(4.2\,\text{km}\) und \(3.5\,\text{km}\) lang, unter dem Winkel \(48°\). Wie weit liegen die beiden Wegenden auseinander?
Lösung
SWS: \(d^2 = 4.2^2 + 3.5^2 - 2 \cdot 4.2 \cdot 3.5 \cdot \cos 48° \approx 10.22\), \(d \approx 3.20\,\text{km}\).
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5b(4 P)Dreieck mit \(a = 7\), \(b = 9\), \(c = 12\). Wie gross ist der grösste Winkel? Ist er spitz oder stumpf? Begründe es zusätzlich ohne den Winkel, mit einem Vergleich von \(c^2\) und \(a^2 + b^2\).
Lösung
Er liegt der längsten Seite \(c\) gegenüber: \(\cos\gamma = \tfrac{49 + 81 - 144}{2 \cdot 7 \cdot 9} = -\tfrac{14}{126} \approx -0.1111\), \(\gamma \approx 96.38°\) — stumpf, weil der Cosinus negativ ist.
Ohne Winkel: \(c^2 = 144 \gt a^2 + b^2 = 130\). Die Seite gegenüber \(\gamma\) ist länger als beim rechten Winkel (dort wäre \(c^2 = a^2 + b^2\)), also ist \(\gamma\) stumpf.
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5c(3 P)Ein dreieckiges Grundstück hat zwei Seiten von \(32\,\text{m}\) und \(45\,\text{m}\), die einen Winkel von \(110°\) einschliessen. Wie gross ist es?
Lösung
\(A = \tfrac{32 \cdot 45}{2} \cdot \sin 110° \approx 676.58\,\text{m}^2\).
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5d(2 P)Warum wird der Cosinussatz \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma\) bei \(\gamma = 90°\) zum Satz des Pythagoras?
Lösung
Weil \(\cos 90° = 0\) ist: Das Korrekturglied \(-2ab \cdot \cos\gamma\) fällt weg, es bleibt \(c^2 = a^2 + b^2\) mit der Hypotenuse \(c\) gegenüber dem rechten Winkel.
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5e(2 P)Mit welchem Satz beginnst du? (a) \(a\), \(b\), \(\gamma\) · (b) \(\alpha\), \(\beta\), \(c\) · (c) \(a\), \(b\), \(c\) · (d) \(a\), \(b\), \(\beta\). Begründe kurz.
Lösung
(a) Cosinussatz — \(\gamma\) liegt zwischen \(a\) und \(b\), kein Paar. (b) Sinussatz — zuerst \(\gamma\), dann ist \(c\), \(\gamma\) ein Paar. (c) Cosinussatz — kein Winkel bekannt. (d) Sinussatz — \(b\), \(\beta\) ist ein Paar (SSW: an die zweite Lösung denken).
Mehr dazu: Themenseite 5.3, Cosinussatz, Welcher Satz wann? und Dreiecksfläche
Gesamttest
⬇ Gesamttest (PDF)
⬇ Bewertungspaket (PDF)
| 22 – 25 P | Die geprüften Teile sitzen. Wo du Punkte verloren hast: das Kapitel dieser Aufgabe nochmals (Zuordnung unten). |
| 17 – 21 P | Das schwächste Kapitel nochmals: Tüfteln und Übungen des Kapitels, in dem du die meisten Punkte verloren hast. |
| 11 – 16 P | Zurück zu den Kapiteln aller Aufgaben, in denen du Punkte verloren hast. |
| 0 – 10 P | Zurück zu Kapitel 1 und von dort der Reihe nach weiter. |
Aufgabe → Kapitel: G1 → 1; G2 → 2; G3 → 3; G4 (a) → 4, G4 (b) → 1; G5 → 4; G6, G7 → 5
Weiter
Als Nächstes: Leitprogramm Einheitskreis (Teilgebiet 5.4) — Sinus und Cosinus für jeden Winkel, die besonderen Winkel ohne Rechner und warum \(\sin(180° - \gamma) = \sin\gamma\) gilt.
Nicht in diesem Leitprogramm, sondern auf der Themenseite 5.3: die exakten Werte bei \(30°\), \(45°\), \(60°\) (Spezialwinkel, dazu Teilgebiet 5.4), die Beziehungen unter den Winkelfunktionen, die Herleitung des Sinussatzes über den Umkreis und das Eintippen von Grad, Minuten und Sekunden.