Einheitskreis

Der Einheitskreis hat den Mittelpunkt \(O(0 \mid 0)\) und den Radius \(1\). Der Winkel \(\varphi\) wird ab der positiven \(x\)-Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Ein negativer Winkel dreht im Uhrzeigersinn, ein Winkel über \(360^\circ\) mehr als eine Runde.

Zum Winkel \(\varphi\) gehört der Punkt \(P\) auf dem Kreis. Seine \(y\)-Koordinate ist der Sinuswert, seine \(x\)-Koordinate der Cosinuswert:

\[ P(\cos\varphi \mid \sin\varphi) \]

Für \(0^\circ \lt \varphi \lt 90^\circ\) ist das die Definition aus dem Dreieck (GF 5.3): Die Hypotenuse \(OP\) ist \(1\) lang, also \(\sin\varphi = \tfrac{\text{Gegenkathete}}{1}\), \(\cos\varphi = \tfrac{\text{Ankathete}}{1}\).

Vorzeichen — sie folgen aus der Lage von \(P\):

Auf den Achsen: \(P(1 \mid 0)\) bei \(0^\circ\), \(P(0 \mid 1)\) bei \(90^\circ\), \(P(-1 \mid 0)\) bei \(180^\circ\), \(P(0 \mid -1)\) bei \(270^\circ\). Alle Werte von \(\sin\varphi\) und \(\cos\varphi\) liegen zwischen \(-1\) und \(1\).

\[ \begin{array}{c|ccccc} \varphi & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ \\ \hline \sin\varphi & 0 & \tfrac12 & \tfrac{\sqrt2}{2} & \tfrac{\sqrt3}{2} & 1 \\[2pt] \cos\varphi & 1 & \tfrac{\sqrt3}{2} & \tfrac{\sqrt2}{2} & \tfrac12 & 0 \end{array} \]

Merkhilfe: Die Sinuszeile ist \(\tfrac{\sqrt0}{2}, \tfrac{\sqrt1}{2}, \tfrac{\sqrt2}{2}, \tfrac{\sqrt3}{2}, \tfrac{\sqrt4}{2}\); der Cosinus hat dieselben Zahlen rückwärts.

Herkunft: \(45^\circ\) aus dem halben Quadrat (\(x = y\), \(x^2 + x^2 = 1\)), \(30^\circ\) und \(60^\circ\) aus dem halbierten gleichseitigen Dreieck mit Seite \(1\) (halbe Grundseite \(\tfrac12\), Höhe \(\sqrt{1 - \tfrac14} = \tfrac{\sqrt3}{2}\)).

In den anderen Quadranten, ohne Taschenrechner:

1. Quadrant von \(P\) bestimmen. Liegt der Winkel nicht zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\), zuerst volle Runden dazuzählen oder abziehen: \(-45^\circ\) ist derselbe Punkt wie \(315^\circ\), \(510^\circ\) derselbe wie \(150^\circ\).
2. Referenzwinkel — der spitze Winkel zwischen \(OP\) und der \(x\)-Achse: im II. Quadranten \(180^\circ - \varphi\), im III. \(\varphi - 180^\circ\), im IV. \(360^\circ - \varphi\).
3. Betrag aus der Tabelle, Vorzeichen aus dem Quadranten.

Beispiel: \(150^\circ\) liegt im II. Quadranten, Referenzwinkel \(30^\circ\): \(\sin 150^\circ = \tfrac12\), \(\cos 150^\circ = -\tfrac{\sqrt3}{2}\).

Im Bogenmass (GF 5.1): \(30^\circ = \tfrac{\pi}{6}\), \(45^\circ = \tfrac{\pi}{4}\), \(60^\circ = \tfrac{\pi}{3}\), \(90^\circ = \tfrac{\pi}{2}\), \(180^\circ = \pi\).

Rechts am Kreis steht die senkrechte Tangente \(x = 1\); sie berührt den Kreis in \(R(1 \mid 0)\). Die Gerade durch \(O\) und \(P\) schneidet sie im Punkt \(S\). Seine \(y\)-Koordinate ist der Tangenswert:

\[ S(1 \mid \tan\varphi) \]

Im II. und III. Quadranten trifft erst die Verlängerung der Geraden über \(O\) hinaus die Tangente.

Die Dreiecke \(OQP\) (\(Q\) ist der Fusspunkt von \(P\) auf der \(x\)-Achse) und \(ORS\) sind ähnlich: Beide haben bei \(O\) denselben spitzen Winkel und einen rechten Winkel. Im I. Quadranten ist dieser Winkel \(\varphi\), in den anderen Quadranten der Referenzwinkel. Das Seitenverhältnis gibt den Betrag, die Vorzeichen der Koordinaten geben das Vorzeichen — in jedem Quadranten gilt

\[ \tan\varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} \qquad (\cos\varphi \neq 0) \]

Bei \(90^\circ\) und \(270^\circ\) ist \(\cos\varphi = 0\): Die Gerade ist parallel zur Tangente, \(\tan\varphi\) ist nicht definiert. Positiv ist der Tangens im I. und III. Quadranten, negativ im II. und IV. Besondere Werte: \(\tan 0^\circ = 0\), \(\tan 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{3}\), \(\tan 45^\circ = 1\), \(\tan 60^\circ = \sqrt3\).

Trigonometrischer Pythagoras. Im rechtwinkligen Dreieck \(OQP\) sind die Katheten so lang wie \(|\cos\varphi|\) und \(|\sin\varphi|\), die Hypotenuse ist der Radius \(1\):

\[ \sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1 \]

Das gilt für jeden Winkel (\(\sin^2\varphi\) heisst \((\sin\varphi)^2\)). Aus einem Wert und dem Quadranten folgt der andere: \(\cos\varphi = \pm\sqrt{1 - \sin^2\varphi}\), das Vorzeichen gibt der Quadrant. Beispiel: \(\sin\varphi = 0.6\) im II. Quadranten: \(\cos^2\varphi = 0.64\), \(\cos\varphi = -0.8\), \(\tan\varphi = \tfrac{0.6}{-0.8} = -0.75\).

Jede Regel ist eine Spiegelung des Punktes zu \(\alpha\). Man muss sie nicht auswendig lernen: Punkt zeichnen, spiegeln, Koordinaten vergleichen.

Die Spiegelungen: \(180^\circ - \alpha\) an der \(y\)-Achse, \(-\alpha\) an der \(x\)-Achse (derselbe Punkt wie \(360^\circ - \alpha\)), \(90^\circ - \alpha\) an der Geraden \(y = x\) — und \(180^\circ + \alpha\) am Ursprung \(O\) (Punktspiegelung).

\[ \begin{array}{l|c|c|c} & \sin & \cos & \tan \\ \hline 180^\circ - \alpha & \sin\alpha & -\cos\alpha & -\tan\alpha \\ 180^\circ + \alpha & -\sin\alpha & -\cos\alpha & \tan\alpha \\ -\alpha & -\sin\alpha & \cos\alpha & -\tan\alpha \\ 90^\circ - \alpha & \cos\alpha & \sin\alpha & \tfrac{1}{\tan\alpha} \end{array} \]

In der Tangensspalte muss \(\cos\alpha \neq 0\) sein, in der letzten Zeile auch \(\sin\alpha \neq 0\).

Die erste Zeile ist das Supplement: \(\alpha\) und \(180^\circ - \alpha\) ergänzen sich zu \(180^\circ\). Die letzte Zeile ist das Komplement: \(x\) und \(y\) tauschen die Plätze. Im Bogenmass, wie im Lehrplan: \(\sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \varphi\right) = \cos\varphi\) und \(\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - \varphi\right) = \sin\varphi\). Im rechtwinkligen Dreieck ist \(90^\circ - \alpha\) der andere spitze Winkel: Seine Gegenkathete ist die Ankathete von \(\alpha\).

Beispiel: \(\cos 205^\circ = \cos(180^\circ + 25^\circ)\) \(= -\cos 25^\circ \approx -0.906\).

Periodizität. Nach einer vollen Runde liegt \(P\) wieder am selben Ort:

\[ \sin(\varphi + k \cdot 360^\circ) = \sin\varphi \] \[ \cos(\varphi + k \cdot 360^\circ) = \cos\varphi \qquad (k \in \mathbb{Z}) \]

Der Tangens wiederholt sich schon nach einer halben Runde, weil der gegenüberliegende Punkt auf derselben Geraden durch \(O\) liegt: \(\tan(\varphi + k \cdot 180^\circ) = \tan\varphi\). Im Bogenmass sind die Perioden \(2\pi\) und \(\pi\).

Umkehroperationen gehen vom Wert zurück zum Winkel:

Zu einem Wert gehören am Kreis meist zwei Punkte und wegen der Periode unendlich viele Winkel. Die Umkehroperation wählt davon einen, den Hauptwert:

\(\arcsin w\) ist der Winkel aus \([-90^\circ;\, 90^\circ]\) mit \(\sin\varphi = w\) (rechte Kreishälfte; \(-1 \le w \le 1\)).
\(\arccos w\) ist der Winkel aus \([0^\circ;\, 180^\circ]\) mit \(\cos\varphi = w\) (obere Kreishälfte; \(-1 \le w \le 1\)).
\(\arctan w\) ist der Winkel aus \(]{-90^\circ};\, 90^\circ[\) mit \(\tan\varphi = w\) (rechte Kreishälfte ohne Endpunkte; jedes \(w\)).

Auf dem Taschenrechner heissen sie \(\sin^{-1}\), \(\cos^{-1}\), \(\tan^{-1}\) — das ist nicht \(\tfrac{1}{\sin w}\). Beispiel: \(\sin^{-1}(0.4) \approx 23.6^\circ\) — den zweiten Punkt mit derselben Höhe liefert er nicht.

Welchen Winkel liefert der Rechner? Gegeben ist ein Winkel \(\beta\) ausserhalb des Hauptwertbereichs, zum Beispiel \(\beta = 210^\circ\) mit \(\sin 210^\circ = -\tfrac12\).

1. Den zweiten Kreispunkt mit demselben Wert suchen, mit einer Spiegelung aus Kapitel 4: gleicher Sinus — an der \(y\)-Achse gespiegelt; gleicher Cosinus — an der \(x\)-Achse; gleicher Tangens — der Punkt gegenüber.
2. Er liegt im Hauptwertbereich: Seinen Winkel in diesem Bereich angeben, unter der \(x\)-Achse also negativ.

Hier: \(210^\circ\) liegt links unten. Das Spiegelbild an der \(y\)-Achse liegt gleich hoch, rechts unten, \(30^\circ\) unter der positiven \(x\)-Achse: \(\sin^{-1}(-0.5) = -30^\circ\).

Wie man alle Winkel zu einem Wert findet und als Lösungsmenge aufschreibt, zeigt das Leitprogramm Trigonometrische Gleichungen (GF 5.5).