So arbeitest du
- ① Clip anschauen.
- ② Tüfteln: Aufgaben in der Simulation lösen — sie zeigt ✓, wenn es stimmt.
- ③ Kontrollfragen: Der Clip hält an. Erst antworten.
- ④ Üben mit Rückmeldung, bis drei in Folge sitzen.
- ⑤ Aufgaben auf Papier, mit Skizze am Einheitskreis, dann Lösung aufklappen und abhaken.
Kompetenzen nach Lehrplan
RLP-BM 2030, Grundlagenfach, Teilgebiet 5.5 Trigonometrische Gleichungen:
- K1 elementare trigonometrische Gleichungen am Einheitskreis visualisieren und mithilfe der Arkusfunktion lösen — Kapitel 1–4, mit Taschenrechner; die besonderen Werte (aus GF 5.4) ohne
Auf der Themenseite 5.5, nicht hier: Gleichungen mit einem Term im Argument wie beim Riesenrad \(\cos(90^\circ \cdot t) = 0\) und bei den Gezeiten.
Vorwissen
Sinus und Cosinus als Koordinaten am Einheitskreis, der Tangens auf der Tangente, die besonderen Werte, die Umkehrtaste des Rechners und die Periode. Wenn das wackelt: Leitprogramm Einheitskreis (GF 5.4), besonders Kapitel 2, Kapitel 3 (Tangens) und Kapitel 5.
Vortest · 12 P
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0a(2 P)Gib die Koordinaten des Punktes \(P\) auf dem Einheitskreis zu \(\varphi = 150^\circ\) exakt an.
Lösung
\(P(\cos 150^\circ \mid \sin 150^\circ) = P\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2} \mid \tfrac{1}{2}\right)\).
II. Quadrant, Referenzwinkel \(30^\circ\) — LP Einheitskreis, Kapitel 2.
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0b(2 P)Gib ohne Taschenrechner exakt an: \(\sin 210^\circ\) und \(\cos 300^\circ\).
Lösung
\(\sin 210^\circ = -\tfrac{1}{2}\) (III. Quadrant, Referenzwinkel \(30^\circ\)); \(\cos 300^\circ = \tfrac{1}{2}\) (IV. Quadrant, Referenzwinkel \(60^\circ\)).
Die besonderen Werte braucht Kapitel 1 — der zweite Clip oben.
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0c(2 P)Berechne mit dem Taschenrechner (Modus DEG) auf \(0.1^\circ\): \(\sin^{-1}(0.6)\) und \(\cos^{-1}(-0.3)\).
Lösung
\(\sin^{-1}(0.6) \approx 36.9^\circ\); \(\cos^{-1}(-0.3) \approx 107.5^\circ\).
Zeigt der Rechner \(0.644\), steht er im Bogenmass (RAD).
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0d(2 P)Aus welchem Bereich stammen die Winkel, die der Rechner für \(\sin^{-1}\) und für \(\cos^{-1}\) liefert?
Lösung
\(\sin^{-1}\): aus \([-90^\circ;\, 90^\circ]\), rechte Kreishälfte. \(\cos^{-1}\): aus \([0^\circ;\, 180^\circ]\), obere Kreishälfte.
LP Einheitskreis, Kapitel 5 — darauf baut Kapitel 2 auf.
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0e(2 P)Ergänze mit einem Winkel zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\): \(\sin 400^\circ = \sin\,\)? und \(\cos(-30^\circ) = \cos\,\)?
Lösung
\(\sin 400^\circ = \sin 40^\circ\) (\(400^\circ - 360^\circ\)); \(\cos(-30^\circ) = \cos 330^\circ\) (\(-30^\circ + 360^\circ\)).
Die Periode \(360^\circ\) — Kapitel 2 und 4 brauchen sie.
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0f(2 P)Gib ohne Taschenrechner exakt an: \(\tan 30^\circ\) und \(\tan 120^\circ\). Welcher Punkt auf der Tangente \(x = 1\) zeigt am Einheitskreis den Wert \(\tan 30^\circ\)?
Lösung
\(\tan 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{3}\); \(\tan 120^\circ = -\sqrt{3}\) (II. Quadrant, Referenzwinkel \(60^\circ\), der Tangens ist dort negativ). Die Gerade durch \(O\) und den Kreispunkt zu \(30^\circ\) trifft die Tangente \(x = 1\) in \(S\left(1 \mid \tfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\): Seine Höhe ist \(\tan 30^\circ\).
LP Einheitskreis, Kapitel 3 — darauf baut Kapitel 3 auf.
Weniger als 8 von 12 Punkten: zuerst die verlinkten Stellen zu den falschen Aufgaben, dann Kapitel 1.
Gleichungen am Einheitskreis
Du übersetzt \(\sin\varphi = c\) in eine Waagrechte und \(\cos\varphi = c\) in eine Senkrechte, liest am Einheitskreis ab, ob es zwei, eine oder keine Lösung gibt, und gibst die Lösungen für besondere Werte exakt an — ohne Taschenrechner.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Eine elementare trigonometrische Gleichung hat eine der Formen \(\sin\varphi = c\), \(\cos\varphi = c\), \(\tan\varphi = c\) mit einer gegebenen Zahl \(c\). Gesucht sind die Winkel \(\varphi\).
Am Einheitskreis ist \(\sin\varphi\) die Höhe (\(y\)-Koordinate) und \(\cos\varphi\) die waagrechte Koordinate (\(x\)-Koordinate) des Punktes \(P\). Darum:
- \(\sin\varphi = c\): Zeichne die Waagrechte \(y = c\).
- \(\cos\varphi = c\): Zeichne die Senkrechte \(x = c\).
Ihre Schnittpunkte mit dem Kreis sind die Lösungen. Im Intervall \([0^\circ;\, 360^\circ[\) sind es zwei für \(-1 \lt c \lt 1\), eine für \(c = \pm 1\) (die Gerade berührt den Kreis) und keine für \(c \lt -1\) oder \(c \gt 1\): dann ist \(\mathbb{L} = \{\,\}\).
Die beiden Punkte sind Spiegelbilder: beim Sinus an der \(y\)-Achse (gleiche Höhe), beim Cosinus an der \(x\)-Achse (gleiche \(x\)-Koordinate).
Besondere Werte ohne Taschenrechner (LP Einheitskreis): \(\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}\), \(\sin 45^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\); beim Cosinus dieselben Zahlen in umgekehrter Reihenfolge. Beispiele aus dem Clip: \(\sin\varphi = \tfrac{1}{2}\): \(\mathbb{L} = \{30^\circ;\ 150^\circ\}\); \(\cos\varphi = -\tfrac{1}{2}\): \(\mathbb{L} = \{120^\circ;\ 240^\circ\}\).
Die Lösungen stehen in der Lösungsmenge \(\mathbb{L}\) aufsteigend, mit Strichpunkt getrennt.
Beim Cosinus eine Waagrechte zeichnen: \(\cos\varphi\) ist die \(x\)-Koordinate, die Gerade steht senkrecht.
Bei \(c = \pm 1\) zwei Lösungen angeben: Die Gerade berührt den Kreis nur. Bei \(\cos\varphi = 1\) ist es nur \(0^\circ\); \(360^\circ\) gehört nicht mehr zu \([0^\circ;\, 360^\circ[\).
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 1 · 11 P
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1a(2 P)Zeichne in einen Einheitskreis die Gerade, deren Schnittpunkte die Lösungen von \(\sin\varphi = 0.8\) sind, und markiere die Lösungspunkte. In welchen Quadranten liegen sie?
Lösung
Die Waagrechte \(y = 0.8\) schneidet den Kreis rechts und links der \(y\)-Achse: Die Lösungen liegen im I. und im II. Quadranten (mit dem Rechner: \(\approx 53.1^\circ\) und \(\approx 126.9^\circ\)).
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1b(2 P)Ebenso für \(\cos\varphi = -0.3\): Gerade zeichnen, Lösungspunkte markieren, Quadranten angeben.
Lösung
Die Senkrechte \(x = -0.3\) schneidet den Kreis über und unter der \(x\)-Achse: Die Lösungen liegen im II. und im III. Quadranten (mit dem Rechner: \(\approx 107.5^\circ\) und \(\approx 252.5^\circ\)).
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1c(3 P)Löse ohne Taschenrechner im Intervall \([0^\circ;\, 360^\circ[\): (a) \(\sin\varphi = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\) (b) \(\cos\varphi = 0\) (c) \(\cos\varphi = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Lösung
(a) \(\sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\); Spiegelbild an der \(y\)-Achse: \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). \(\mathbb{L} = \{60^\circ;\ 120^\circ\}\).
(b) Die Senkrechte \(x = 0\) ist die \(y\)-Achse; sie trifft den Kreis oben und unten. \(\mathbb{L} = \{90^\circ;\ 270^\circ\}\).
(c) \(\cos 45^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\); \(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) links der \(y\)-Achse: \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\), Spiegelbild an der \(x\)-Achse: \(360^\circ - 135^\circ = 225^\circ\). \(\mathbb{L} = \{135^\circ;\ 225^\circ\}\). -
1d(2 P)Wie viele Lösungen haben die Gleichungen im Intervall \([0^\circ;\, 360^\circ[\)? (a) \(\sin\varphi = -1\) (b) \(\cos\varphi = 1.01\) (c) \(\sin\varphi = 0\) (d) \(\cos\varphi = -0.999\)
Lösung
(a) eine: Die Waagrechte \(y = -1\) berührt den Kreis unten, bei \(270^\circ\). (b) keine: \(1.01 \gt 1\), \(\mathbb{L} = \{\,\}\). (c) zwei: Die \(x\)-Achse trifft den Kreis bei \(0^\circ\) und \(180^\circ\). (d) zwei: \(-0.999\) liegt noch zwischen \(-1\) und \(1\); die Senkrechte schneidet den Kreis knapp rechts von \((-1 \mid 0)\) zweimal.
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1e(2 P)Warum hat \(\cos\varphi = c\) im Intervall \([0^\circ;\, 360^\circ[\) für \(-1 \lt c \lt 1\) genau zwei Lösungen, für \(c = 1\) aber nur eine?
Lösung
Die Senkrechte \(x = c\) mit \(-1 \lt c \lt 1\) schneidet den Kreis in zwei Punkten, einem über und einem unter der \(x\)-Achse. Bei \(c = 1\) berührt sie den Kreis nur in \((1 \mid 0)\) — das ist der Winkel \(0^\circ\) (oder \(360^\circ\), der nicht mehr zum Intervall gehört).
Mehr dazu: Themenseite 5.5, Visualisierung am Einheitskreis und Spezialfälle ohne Taschenrechner
Mit der Arkusfunktion: die zweite Lösung
Du bestimmst bei \(\sin\varphi = c\) und \(\cos\varphi = c\) mit dem Taschenrechner den Hauptwert, findest über die Spiegelung am Einheitskreis die zweite Lösung, bringst negative Winkel ins Intervall \([0^\circ;\, 360^\circ[\) und prüfst das Ergebnis am Kreis.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Für einen beliebigen Wert \(c\) liefert der Taschenrechner (Modus Grad, DEG) mit der Arkusfunktion einen Winkel, den Hauptwert \(\varphi_1\). Auf dem Rechner heisst \(\arcsin\) \(\sin^{-1}\), \(\arccos\) \(\cos^{-1}\).
- \(\varphi_1 = \arcsin(c)\) liegt in \([-90^\circ;\, 90^\circ]\) — rechte Kreishälfte.
- \(\varphi_1 = \arccos(c)\) liegt in \([0^\circ;\, 180^\circ]\) — obere Kreishälfte.
Die zweite Lösung liefert der Rechner nie. Sie kommt aus der Spiegelung:
\[ \sin\varphi = c:\ \ \varphi_2 = 180^\circ - \varphi_1 \qquad \cos\varphi = c:\ \ \varphi_2 = 360^\circ - \varphi_1 \]
Ist \(\varphi_1\) negativ, bringt \(+\,360^\circ\) den Winkel ins Intervall \([0^\circ;\, 360^\circ[\) — es ist derselbe Punkt.
Beispiel aus dem Clip: \(\sin\varphi = -0.4\). Rechner: \(\varphi_1 \approx -23.6^\circ\), also \(-23.6^\circ + 360^\circ = 336.4^\circ\); zweite Lösung \(180^\circ - (-23.6^\circ) = 203.6^\circ\). \(\mathbb{L} = \{203.6^\circ;\ 336.4^\circ\}\), auf \(0.1^\circ\) gerundet.
Probe am Kreis: Liegt jeder Lösungspunkt auf der richtigen Seite der Achse? Beim Sinus zählt die Seite der \(x\)-Achse, beim Cosinus die der \(y\)-Achse.
Nur den Wert des Rechners angeben — im Intervall \([0^\circ;\, 360^\circ[\) gibt es fast immer zwei Lösungen.
Die Regeln vertauschen: \(180^\circ - \varphi_1\) gehört zum Sinus, \(360^\circ - \varphi_1\) zum Cosinus. Die Probe am Kreis deckt es auf.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 2 · 12 P
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2a(3 P)Löse \(\sin\varphi = 0.7\) im Intervall \([0^\circ;\, 360^\circ[\) (Taschenrechner, auf \(0.1^\circ\)). Mach die Probe am Einheitskreis.
Lösung
\(\varphi_1 = \arcsin(0.7) \approx 44.4^\circ\); \(\varphi_2 = 180^\circ - 44.4^\circ = 135.6^\circ\). \(\mathbb{L} = \{44.4^\circ;\ 135.6^\circ\}\). Probe: Beide Punkte liegen über der \(x\)-Achse, der Sinus ist positiv ✓.
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2b(3 P)Löse \(\cos\varphi = -0.2\) im Intervall \([0^\circ;\, 360^\circ[\) (Taschenrechner, auf \(0.1^\circ\)). Mach die Probe am Einheitskreis.
Lösung
\(\varphi_1 = \arccos(-0.2) \approx 101.5^\circ\); \(\varphi_2 = 360^\circ - 101.5^\circ = 258.5^\circ\). \(\mathbb{L} = \{101.5^\circ;\ 258.5^\circ\}\). Probe: Beide Punkte liegen links der \(y\)-Achse, der Cosinus ist negativ ✓.
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2c(2 P)Der Rechner zeigt für \(\sin\varphi = -0.45\) den Wert \(\sin^{-1}(-0.45) \approx -26.7^\circ\). Zeichne beide Lösungspunkte in einen Einheitskreis und gib \(\mathbb{L}\) im Intervall \([0^\circ;\, 360^\circ[\) an.
Lösung
\(-26.7^\circ + 360^\circ = 333.3^\circ\) und \(180^\circ - (-26.7^\circ) = 206.7^\circ\). \(\mathbb{L} = \{206.7^\circ;\ 333.3^\circ\}\) — beide unter der \(x\)-Achse.
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2d(2 P)Ana löst \(\sin\varphi = 0.3\): «\(\varphi_1 \approx 17.5^\circ\), \(\varphi_2 = 360^\circ - 17.5^\circ = 342.5^\circ\).» Was ist falsch? Gib die richtige zweite Lösung an.
Lösung
Ana hat die Regel des Cosinus benutzt. Bei \(342.5^\circ\) liegt \(P\) unter der \(x\)-Achse, dort ist der Sinus negativ (\(\sin 342.5^\circ \approx -0.30\)). Richtig ist die Spiegelung an der \(y\)-Achse: \(\varphi_2 = 180^\circ - 17.5^\circ = 162.5^\circ\).
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2e(2 P)Warum gilt beim Sinus \(\varphi_2 = 180^\circ - \varphi_1\), beim Cosinus aber \(\varphi_2 = 360^\circ - \varphi_1\)? Begründe am Einheitskreis.
Lösung
Beim Sinus haben beide Punkte dieselbe Höhe: Der zweite ist das Spiegelbild des ersten an der \(y\)-Achse, und die Spiegelung an der \(y\)-Achse macht aus dem Winkel \(\varphi_1\) den Winkel \(180^\circ - \varphi_1\). Beim Cosinus haben beide dieselbe \(x\)-Koordinate: Spiegelung an der \(x\)-Achse, aus \(\varphi_1\) wird \(-\varphi_1\), im Intervall also \(360^\circ - \varphi_1\).
Mehr dazu: Themenseite 5.5, Lösungsschemata und Kreis und Kurve nebeneinander
Tangensgleichungen
Du siehst \(\tan\varphi = c\) als Punkt \(S(1 \mid c)\) auf der Tangente, begründest, warum es für jedes \(c\) Lösungen gibt, und findest mit dem Hauptwert des Rechners beide Lösungen in \([0^\circ;\, 360^\circ[\) — sie liegen \(180^\circ\) auseinander.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Am Einheitskreis ist \(\tan\varphi\) die Höhe des Punktes \(S(1 \mid \tan\varphi)\) auf der Tangente \(x = 1\) (LP Einheitskreis). \(\tan\varphi = c\) heisst also: \(S(1 \mid c)\). Die Gerade durch \(O\) und \(S\) trifft den Kreis in zwei Punkten, die sich am Ursprung gegenüberliegen — für jedes \(c\). Eine Tangensgleichung ist immer lösbar.
Der Rechner liefert \(\varphi_1 = \arctan(c)\) (auf dem Rechner \(\tan^{-1}\)) aus \(]{-90^\circ};\, 90^\circ[\), rechte Kreishälfte. Die zweite Lösung liegt gegenüber:
\[ \tan\varphi = c:\ \ \varphi_2 = \varphi_1 + 180^\circ \]
Ist \(\varphi_1\) negativ, liegen die Lösungen in \([0^\circ;\, 360^\circ[\) bei \(\varphi_1 + 180^\circ\) und \(\varphi_1 + 360^\circ\). Beispiel aus dem Clip: \(\tan\varphi = -1\): \(-45^\circ + 180^\circ = 135^\circ\) und \(-45^\circ + 360^\circ = 315^\circ\), \(\mathbb{L} = \{135^\circ;\ 315^\circ\}\).
Besondere Werte: \(\tan 0^\circ = 0\), \(\tan 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{3}\), \(\tan 45^\circ = 1\), \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\). Bei \(90^\circ\) und \(270^\circ\) ist der Tangens nicht definiert.
Die Regel des Sinus oder des Cosinus nehmen (\(180^\circ - \varphi_1\), \(360^\circ - \varphi_1\)): Beim Tangens liegen die beiden Punkte nicht gespiegelt, sondern gegenüber.
Den negativen Wert des Rechners in die Lösungsmenge schreiben: \(-45^\circ\) liegt nicht in \([0^\circ;\, 360^\circ[\).
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 3 · 12 P
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3a(3 P)Löse \(\tan\varphi = 1.2\) im Intervall \([0^\circ;\, 360^\circ[\) (Taschenrechner, auf \(0.1^\circ\)).
Lösung
\(\varphi_1 = \arctan(1.2) \approx 50.2^\circ\); \(\varphi_2 = 50.2^\circ + 180^\circ = 230.2^\circ\). \(\mathbb{L} = \{50.2^\circ;\ 230.2^\circ\}\).
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3b(3 P)Löse \(\tan\varphi = -3.2\) im Intervall \([0^\circ;\, 360^\circ[\) (Taschenrechner, auf \(0.1^\circ\)).
Lösung
\(\arctan(-3.2) \approx -72.6^\circ\) liegt nicht im Intervall. \(-72.6^\circ + 180^\circ = 107.4^\circ\) und \(-72.6^\circ + 360^\circ = 287.4^\circ\). \(\mathbb{L} = \{107.4^\circ;\ 287.4^\circ\}\).
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3c(2 P)Löse ohne Taschenrechner im Intervall \([0^\circ;\, 360^\circ[\): (a) \(\tan\varphi = \tfrac{\sqrt{3}}{3}\) (b) \(\tan\varphi = 0\)
Lösung
(a) \(\tan 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{3}\): \(\mathbb{L} = \{30^\circ;\ 210^\circ\}\). (b) \(S(1 \mid 0)\), die Gerade ist die \(x\)-Achse: \(\mathbb{L} = \{0^\circ;\ 180^\circ\}\).
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3d(2 P)Zeichne für \(\tan\varphi = -0.5\) in einen Einheitskreis die Tangente \(x = 1\), den Punkt \(S\), die Gerade durch \(O\) und \(S\) und die beiden Lösungspunkte. Gib die Lösungen in \([0^\circ;\, 360^\circ[\) an (Taschenrechner).
Lösung
\(S(1 \mid -0.5)\). Die Gerade durch \(O\) und \(S\) trifft den Kreis im II. und IV. Quadranten. \(\arctan(-0.5) \approx -26.6^\circ\): \(\mathbb{L} = \{153.4^\circ;\ 333.4^\circ\}\).
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3e(2 P)Warum hat \(\tan\varphi = c\) für jedes \(c\) zwei Lösungen in \([0^\circ;\, 360^\circ[\), und warum liegen sie genau \(180^\circ\) auseinander?
Lösung
Zu jedem \(c\) gibt es auf der Tangente \(x = 1\) den Punkt \(S(1 \mid c)\), und die Gerade durch \(O\) und \(S\) geht durch den Mittelpunkt des Kreises — sie trifft ihn immer in zwei Punkten. Diese liegen sich am Ursprung gegenüber; von einem zum anderen ist es eine halbe Drehung, also \(180^\circ\).
Mehr dazu: Themenseite 5.5, Lösungsschemata (Typ 3)
Alle Lösungen: Periode und Lösungsmenge
Du gibst alle Lösungen mit der Periode an (\(+\,k \cdot 360^\circ\) bei Sinus und Cosinus, \(+\,k \cdot 180^\circ\) beim Tangens, \(k \in \mathbb{Z}\)) und schreibst die Lösungsmenge in einem vorgegebenen Intervall auf.
① Clip
② Tüfteln
Das Bild lässt sich seitlich verschieben; es folgt den markierten Lösungen.
③ Kontrollfragen
Festhalten
Nach einer vollen Drehung liegt \(P\) wieder am selben Ort: Sinus und Cosinus haben die Periode \(360^\circ\), der Tangens schon \(180^\circ\). Darum gehören zu jeder Lösung alle, die \(k\) Perioden daneben liegen (\(k \in \mathbb{Z}\), auch \(0\) und negativ).
Alle Lösungen (Beispiel aus dem Clip):
\[ \sin\varphi = \tfrac{1}{2}:\quad \varphi = 30^\circ + k \cdot 360^\circ \ \ \text{oder}\ \ \varphi = 150^\circ + k \cdot 360^\circ,\ k \in \mathbb{Z} \]
\[ \tan\varphi = 1:\quad \varphi = 45^\circ + k \cdot 180^\circ,\ k \in \mathbb{Z} \]
Beim Tangens genügt eine Formel: \(180^\circ\) weiter liegt schon die zweite Lösung. Ebenso bei den Sonderfällen \(\sin\varphi = \pm 1\), \(\cos\varphi = \pm 1\) (eine Lösung je Periode) und \(\sin\varphi = 0\): \(\varphi = k \cdot 180^\circ\); \(\cos\varphi = 0\): \(\varphi = 90^\circ + k \cdot 180^\circ\). Die Themenseite schreibt beim Cosinus kurz \(\varphi = \pm\varphi_1 + k \cdot 360^\circ\) — dasselbe, denn \(-\varphi_1 + 360^\circ = 360^\circ - \varphi_1\).
Lösungen in einem Intervall: In die allgemeine Lösung für \(k\) der Reihe nach ganze Zahlen einsetzen, nur die Werte im Intervall behalten und aufsteigend in \(\mathbb{L}\) schreiben: \(0^\circ \le \varphi \lt 720^\circ\): \(\mathbb{L} = \{30^\circ;\ 150^\circ;\ 390^\circ;\ 510^\circ\}\) (\(k = 0\) und \(k = 1\)).
Beim Tangens \(+\,k \cdot 360^\circ\) schreiben: Dann fehlt jede zweite Lösung.
Bei Sinus und Cosinus nur eine Grundlösung mit der Periode versehen: Die zweite Familie fehlt.
Die rechte Grenze mitnehmen: In \([0^\circ;\, 720^\circ[\) gehört \(720^\circ\) nicht dazu.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 4 · 12 P
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4a(3 P)Gib alle Lösungen von \(\sin\varphi = 0.25\) an (Taschenrechner, auf \(0.1^\circ\)).
Lösung
\(\varphi_1 = \arcsin(0.25) \approx 14.5^\circ\), \(\varphi_2 = 180^\circ - 14.5^\circ = 165.5^\circ\). Alle Lösungen: \(\varphi = 14.5^\circ + k \cdot 360^\circ\) oder \(\varphi = 165.5^\circ + k \cdot 360^\circ\), \(k \in \mathbb{Z}\).
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4b(3 P)Im Bild sind \(y = \cos\varphi\) und \(y = -0.9\) gezeichnet. Bestimme alle Lösungen von \(\cos\varphi = -0.9\) im Intervall \([0^\circ;\, 720^\circ[\) (Taschenrechner, auf \(0.1^\circ\)) und zeige sie am Bild.
Lösung
\(\arccos(-0.9) \approx 154.2^\circ\), \(360^\circ - 154.2^\circ = 205.8^\circ\); mit \(k = 1\): \(514.2^\circ\), \(565.8^\circ\). \(\mathbb{L} = \{154.2^\circ;\ 205.8^\circ;\ 514.2^\circ;\ 565.8^\circ\}\) — je zwei Schnittpunkte nahe den Tiefpunkten bei \(180^\circ\) und \(540^\circ\).
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4c(2 P)Bestimme alle Lösungen von \(\tan\varphi = 0.8\) im Intervall \([-180^\circ;\, 360^\circ[\) (Taschenrechner, auf \(0.1^\circ\)).
Lösung
\(\arctan(0.8) \approx 38.7^\circ\); alle Lösungen \(\varphi = 38.7^\circ + k \cdot 180^\circ\). Im Intervall: \(k = -1, 0, 1\). \(\mathbb{L} = \{-141.3^\circ;\ 38.7^\circ;\ 218.7^\circ\}\).
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4d(2 P)Gib ohne Taschenrechner alle Lösungen an: (a) \(\sin\varphi = -1\) (b) \(\cos\varphi = 1\)
Lösung
(a) Nur der tiefste Punkt des Kreises: \(\varphi = 270^\circ + k \cdot 360^\circ\), \(k \in \mathbb{Z}\). (b) Nur der Punkt \((1 \mid 0)\): \(\varphi = k \cdot 360^\circ\), \(k \in \mathbb{Z}\).
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4e(2 P)Warum genügt beim Tangens eine Formel \(\varphi = \varphi_1 + k \cdot 180^\circ\), während man beim Sinus in der Regel zwei braucht?
Lösung
Beim Tangens folgen die Lösungen in gleichen Abständen: Die zweite liegt \(180^\circ\) nach der ersten, die nächste wieder \(180^\circ\) weiter. Ein einziger Schritt \(+\,k \cdot 180^\circ\) trifft darum alle. Beim Sinus sind die Abstände ungleich: Bei \(\sin\varphi = \tfrac{1}{2}\) folgen \(30^\circ\), \(150^\circ\), \(390^\circ\), \(510^\circ\), also abwechselnd \(120^\circ\) und \(240^\circ\) weiter. Kein gleicher Schritt trifft alle — darum zwei Formeln mit je \(+\,k \cdot 360^\circ\). Nur bei \(c = 0\) (Abstand immer \(180^\circ\)) und bei \(c = \pm 1\) (eine Lösung je Runde) genügt eine.
Mehr dazu: Themenseite 5.5, Lösungsmenge angeben und Lösungen entlang der Sinus-Kurve
Gesamttest
⬇ Gesamttest (PDF)
⬇ Bewertungspaket (PDF)
| 22 – 25 P | Die geprüften Teile sitzen. Wo du Punkte verloren hast: das Kapitel dieser Aufgabe nochmals (Zuordnung unten). |
| 17 – 21 P | Den schwächsten Teil nochmals: Tüfteln und Übungen des Kapitels, in dem du die meisten Punkte verloren hast. |
| 11 – 16 P | Zurück zu den Kapiteln aller Aufgaben, in denen du Punkte verloren hast. |
| 0 – 10 P | Zurück zu Kapitel 1 und von dort der Reihe nach weiter. |
Aufgabe → Kapitel: G1 → 1; G2 → 1, 3, 4; G3 → 1, 3, 4; G4 → 2, 4; G5 → 2, 4; G6 → 3, 4; G7 → 2
Weiter
Zum Nachschlagen: Themenseite 5.5 Trigonometrische Gleichungen — mit dem Riesenrad und den Gezeiten als Anwendungen. Im Schwerpunktfach geht es weiter mit den trigonometrischen Funktionen (SP 3.5): Sinus und Cosinus als Kurven im Bogenmass, mit Parametern.