Trigonometrische Funktionen

\(225^\circ = \tfrac{225}{180}\,\pi = \tfrac{5\pi}{4}\); \(\tfrac{5\pi}{6} = \tfrac56 \cdot 180^\circ = 150^\circ\); \(1 = \tfrac{180^\circ}{\pi}\), mit \(\pi \approx 3\) also knapp \(60^\circ\) (genau \(57.3^\circ\)).

\(-1\); \(-1\); \(0\); \(-\tfrac12\).

\(\tfrac{7\pi}{6}\) liegt im dritten Quadranten, \(\tfrac{\pi}{6}\) nach \(\pi\): gleiche Höhe wie bei \(\tfrac{\pi}{6}\), aber unter der Achse.

\(\sin x = 0.8\), \(\cos x = -0.6\). Zweiter Quadrant: \(\tfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi\).

Sinus durch \((0 \mid 0)\), \(\left(\tfrac{\pi}{2} \mid 1\right)\), \((\pi \mid 0)\), \(\left(\tfrac{3\pi}{2} \mid -1\right)\), \((2\pi \mid 0)\); Cosinus durch \((0 \mid 1)\), \(\left(\tfrac{\pi}{2} \mid 0\right)\), \((\pi \mid -1)\), \(\left(\tfrac{3\pi}{2} \mid 0\right)\), \((2\pi \mid 1)\). Im Bild: Sinus durchgezogen, Cosinus gestrichelt.

\(\sin x\) ist die Höhe eines Punktes auf dem Einheitskreis. Der Kreis hat den Radius \(1\): Kein Punkt liegt höher als \(1\) oder tiefer als \(-1\). Ein grosses \(x\) heisst nur, dass \(P\) öfter herumläuft.

\(W = [-1;\, 1]\), \(p = 2\pi\), \(x_0 = \tfrac{\pi}{2} + k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\).

\(-\tfrac{3\pi}{2}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{5\pi}{2}\) — von \(\tfrac{\pi}{2}\) aus je eine Periode \(2\pi\) weiter oder zurück.

\(\approx -0.565\) (punktsymmetrisch); \(\approx 0.825\) (achsensymmetrisch); \(\approx 0.565\) (Periode \(2\pi\)).

\(y = \sin\left(x - \tfrac{\pi}{2}\right)\). Sie hat ihren Tiefpunkt bei \(0\) und ihren Hochpunkt bei \(\pi\) — wie die an der \(x\)-Achse gespiegelte Cosinuskurve: \(y = -\cos x\). Gleichwertig, als verschobene Cosinuskurve: \(y = \cos(x - \pi)\).

Zum Winkel \(-x\) dreht \(P\) gleich weit, aber im Uhrzeigersinn: Der Punkt ist das Spiegelbild an der waagrechten Achse, \((\cos x \mid -\sin x)\). Die waagrechte Koordinate bleibt gleich, nur die Höhe wechselt das Vorzeichen.

\(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}\), \(W = \mathbb{R}\), \(p = \pi\), \(x_0 = k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\).

\(-1\); \(0\); \(-1\).

\(\tfrac{3\pi}{4}\): Sinus positiv, Cosinus negativ, gleich gross — Quotient \(-1\). \(-\tfrac{\pi}{4}\): Punktsymmetrie, \(-\tan\tfrac{\pi}{4}\).

\(\approx 2.572\) (Periode \(\pi\)); \(\approx -2.572\) (punktsymmetrisch).

Pole bei \(-\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{3\pi}{2}\); Nullstellen bei \(0\) und \(\pi\). Zwischen zwei Polen steigt die Kurve von \(-\infty\) nach \(+\infty\), durch die Nullstelle in der Mitte.

Der Quotient wäre \(\tfrac{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)} = \tfrac{1}{0}\): Durch null kann man nicht teilen, und nahe bei \(\tfrac{\pi}{2}\) wird der Quotient beliebig gross. \(\sin \tfrac{\pi}{2} = 1\) ist dagegen einfach die Höhe von \(P\) — sie gibt es für jeden Winkel.

(a) \(a = 3\), \(p = \pi\), \(W = [-4;\, 2]\). (b) \(a = 0.5\), \(p = 4\pi\), \(W = [1.5;\, 2.5]\).

Mittellinie \(y = 1\), Amplitude \(2\), um \(\tfrac{\pi}{3}\) nach rechts. Hochpunkt \(\left(\tfrac{\pi}{3} + \tfrac{\pi}{2} \mid 3\right) = \left(\tfrac{5\pi}{6} \mid 3\right)\), Tiefpunkt \(\left(\tfrac{11\pi}{6} \mid -1\right)\).

Mittellinie \(y = 0\), höchster Wert \(1.5\): \(a = 1.5\), \(v = 0\). Periode \(4\pi\) (von \(0\) bis zur nächsten Nullstelle mit gleicher Steigung): \(b = \tfrac{2\pi}{4\pi} = 0.5\). Also \(y = 1.5\sin(0.5x)\).

Das Minus vor der \(20\) spiegelt die Cosinuskurve: Die Kabine startet bei \(t = 0\) unten. (a) \(25 - 20 = 5\) m und \(25 + 20 = 45\) m. (b) \(p = \tfrac{2\pi}{\pi/4} = 8\) min. (c) \(h(2) = 25 - 20\cos\tfrac{\pi}{2} = 25\) m, \(h(4) = 25 - 20\cos\pi = 45\) m.

Die Kurve wiederholt sich, wenn das Argument \(bx\) um \(2\pi\) gewachsen ist. Bei grossem \(b\) wächst \(bx\) schnell — das geschieht schon nach \(x = \tfrac{2\pi}{b}\).

Der Rechner gibt \(x_1 = \sin^{-1}(-0.3) \approx -0.305\) — nicht im Intervall. Eine Periode weiter: \(-0.305 + 2\pi \approx 5.978\). Die zweite: \(\pi - (-0.305) \approx 3.446\).

Kontrolle an der Skizze: Beide liegen unter der \(x\)-Achse, zwischen \(\pi\) und \(2\pi\), symmetrisch zu \(\tfrac{3\pi}{2}\).

\(\cos \tfrac{\pi}{3} = \tfrac12\), also liegt \(x_1\) im zweiten Quadranten: \(x_1 = \pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}\) (der Rechner gibt \(2.094\)). \(x_2 = 2\pi - \tfrac{2\pi}{3} = \tfrac{4\pi}{3}\).

Vier: \(0.775\), \(2.366\), \(7.059\), \(8.649\) — die beiden aus \([0;\, 2\pi]\) und dieselben plus \(2\pi\).

\(x_1 = \tfrac{7\pi}{6}\), \(x_2 = \tfrac{11\pi}{6}\). Kontrolle: Symmetrieachse ist hier die Gerade \(x = \tfrac{3\pi}{2}\) durch den Tiefpunkt, und \(\tfrac{7\pi}{6}\) und \(\tfrac{11\pi}{6}\) liegen gleich weit davon.

Die Sinuskurve bleibt zwischen \(-1\) und \(1\); eine Waagrechte darüber oder darunter trifft sie nie. Dazwischen schneidet die Waagrechte jeden Bogen: einmal beim Hinauf- oder Hinuntergehen und einmal beim Zurückkommen — zwei Stellen pro Periode.

\(25 - 20\cos\left(\tfrac{\pi}{4}t\right) = 35 \Rightarrow \cos\left(\tfrac{\pi}{4}t\right) = -\tfrac12\). Mit \(z = \tfrac{\pi}{4}t\), \(0 \le z \le 2\pi\): \(z = \tfrac{2\pi}{3}\) oder \(z = 2\pi - \tfrac{2\pi}{3} = \tfrac{4\pi}{3}\). Zurück: \(t = \tfrac{4}{\pi} z = \tfrac83 \approx 2.67\) min und \(t = \tfrac{16}{3} \approx 5.33\) min.