Betragsfunktionen

Der Betrag \(|x|\) ist der Abstand von \(x\) zur Null. Er ist nie negativ: \(|3| = 3\), \(|-3| = 3\).

\[ y = |x| = \begin{cases} x & \text{für } x \ge 0 \\ -x & \text{für } x \lt 0 \end{cases} \]

• \(D = \mathbb{R}\), \(W = \mathbb{R}_0^+\), Nullstelle \(x_0 = 0\).
• Der Graph ist ein V aus zwei Geraden: links \(y = -x\) (Steigung \(-1\)), rechts \(y = x\) (Steigung \(+1\)).
• Knickpunkt \((0 \mid 0)\); achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, denn \(|-x| = |x|\).

Allgemein ist \(|x - u|\) der Abstand von \(x\) zu \(u\): \(|x - u| = x - u\) für \(x \ge u\), \(-(x - u)\) für \(x \lt u\).

\[ y = a \cdot |x - u| + v \qquad (a \neq 0) \]

• Knickpunkt \((u \mid v)\), Symmetrieachse \(x = u\).
• Die Äste sind Geraden mit den Steigungen \(-a\) (links) und \(+a\) (rechts).
• \(a \gt 0\): ein V, der Knick ist der tiefste Punkt, \(W = [v;\, \infty[\). \(a \lt 0\): ein Dach, der Knick ist der höchste Punkt, \(W = \,]-\infty;\, v]\).

Skizzieren ohne Wertetabelle: Knick setzen, von dort eine Einheit nach rechts und \(a\) nach oben (bzw. unten), symmetrisch nach links.

Steht \(|x + 3|\) da, ist \(u = -3\): \(|x + 3| = |x - (-3)|\).

Nullstellen: \(a\,|x - u| + v = 0 \Rightarrow |x - u| = -\tfrac{v}{a}\) — die beiden Stellen, die von \(u\) den Abstand \(-\tfrac{v}{a}\) haben (nur wenn \(-\tfrac{v}{a} \ge 0\)). Beispiel: \(-|x - 2| + 1 = 0 \Rightarrow |x - 2| = 1 \Rightarrow x = 1\) oder \(x = 3\).

Der Betrag wirkt auf die Funktionswerte: Wo \(f(x) \ge 0\), bleibt alles; wo \(f(x) \lt 0\), wird das Vorzeichen gedreht.

1. Graph von \(f\) zeichnen.
2. Alle Teile unterhalb der \(x\)-Achse an der \(x\)-Achse nach oben spiegeln.
3. Teile oberhalb bleiben. Wo \(f\) die \(x\)-Achse schneidet (das Vorzeichen wechselt), entstehen Knicke. Berührt \(f\) die Achse nur, wie \(x^2\) bei \(0\), entsteht keiner.

Beispiele: \(|x - 2|\) — ein Knick bei \(2\). \(|x^2 - 4|\) — Knicke bei \(\pm 2\), der Scheitel \((0 \mid -4)\) wird zum Buckel \((0 \mid 4)\), ein W. \(|x^2 + 1| = x^2 + 1\) — nichts zu tun.

Parabel mit linearem Glied: erst Nullstellen und Scheitel von \(f\). \(f(x) = x^2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4)\): Nullstellen \(-2\) und \(4\), Scheitel in der Mitte bei \(x = 1\), \(f(1) = -9\). Bei \(|f|\): Knicke \((-2 \mid 0)\), \((4 \mid 0)\), Buckel \((1 \mid 9)\).

Jeden Betragsterm kann man ohne Betragsstriche schreiben — mit einer Fallunterscheidung an der Nullstelle des Arguments:

\[ |2x - 6| = \begin{cases} 2x - 6 & \text{für } x \ge 3 \\ -2x + 6 & \text{für } x \lt 3 \end{cases} \]

Wo das Argument negativ ist, wird das Vorzeichen des ganzen Terms gedreht — links oder rechts der Grenze, je nach Vorzeichen von \(x\) im Argument: \(|4 - 2x| = 4 - 2x\) für \(x \le 2\). Probe mit einer Stelle: \(x = 1\): \(|2 - 6| = 4\) und \(-2 + 6 = 4\).

Die Wanne: \(y = |x - a| + |x - b|\) (mit \(a \lt b\)) hat zwei Grenzen und drei Abschnitte. Zwischen \(a\) und \(b\) ist \(y = b - a\) konstant — ein flacher Boden; aussen haben die Äste die Steigungen \(-2\) (links) und \(+2\) (rechts).

\[ |x + 1| + |x - 3| = \begin{cases} -2x + 2 & x \lt -1 \\ 4 & -1 \le x \le 3 \\ 2x - 2 & x \gt 3 \end{cases} \]

Erst skizzieren, dann rechnen: Die Lösungen von \(|A| = c\) sind die Stellen, an denen die Waagrechte \(y = c\) den Graphen schneidet. Die Skizze zeigt, wie viele es sind.

Rechnen: Für \(c \gt 0\) gilt \(|A| = c \iff A = c \;\vee\; A = -c\). Für \(c = 0\): \(A = 0\). Für \(c \lt 0\): \(L = \{\,\}\).

\[ |x - 1| = 3 \;\Rightarrow\; x - 1 = 3 \;\vee\; x - 1 = -3 \;\Rightarrow\; L = \{-2;\, 4\} \]

Ungleichungen liest man am Graphen ab: \(|x - 1| \le 3\) gilt, wo das V unter der Waagrechten liegt — zwischen den Schnittstellen, \(-2 \le x \le 4\). \(|x - 1| \ge 3\) gilt ausserhalb: \(x \le -2 \;\vee\; x \ge 4\).

Beim W \(y = |x^2 - 4|\) gibt es bis zu vier Lösungen: \(|x^2 - 4| = 3 \Rightarrow x^2 = 7 \;\vee\; x^2 = 1\), \(L = \{-\sqrt7;\, -1;\, 1;\, \sqrt7\}\).