Polynomfunktionen

\[ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, \qquad n \in \mathbb{N} \]

mit \(a_k \in \mathbb{R}\) und \(a_n \neq 0\). \(n\) heisst Grad, \(a_n\) Leitkoeffizient. Die Darstellung als Summe heisst auch Summenform.

Linearfaktordarstellung: Hat \(f\) vom Grad \(n\) genau \(n\) reelle Nullstellen \(x_1, \dots, x_n\) (mehrfache mehrfach gezählt), so ist

\[ f(x) = a_n \cdot (x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_n) \]

Nicht jede Polynomfunktion zerfällt so: \(x^2 + 1\) hat gar keine reelle Nullstelle.

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist. Jeder Linearfaktor \((x - x_k)\) wird genau bei \(x_k\) null — die Nullstellen stehen in den Klammern, mit umgekehrtem Vorzeichen.

Der Faktor vor den Klammern ist der Leitkoeffizient — sofern jede Klammer die Form \((x - x_k)\) hat. Er streckt den Graphen in \(y\)-Richtung (ist er negativ, spiegelt er ihn zusätzlich an der \(x\)-Achse) und ändert die Nullstellen nicht.

Gleichung aus Nullstellen: Ansatz \(f(x) = a\,(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)\), dann einen weiteren Punkt einsetzen — meist \((0 \mid f(0))\) — und nach \(a\) auflösen.

Kommt ein Linearfaktor mehrfach vor, fasst man ihn zur Potenz zusammen:

\[ f(x) = a\,(x - x_1)^{k} \cdots \]

Der Exponent \(k\) heisst Vielfachheit der Nullstelle \(x_1\).

• einfach, \((x - x_1)^1\): Der Graph schneidet die \(x\)-Achse (Vorzeichenwechsel).
• doppelt, \((x - x_1)^2\): Der Graph berührt die \(x\)-Achse — Hoch- oder Tiefpunkt auf der Achse, kein Vorzeichenwechsel.
• dreifach, \((x - x_1)^3\): Der Graph schneidet terrassenförmig abgeflacht (Vorzeichenwechsel, waagrechte Tangente).

Allgemein: ungerade Vielfachheit — Vorzeichenwechsel, gerade — keiner. Denn eine gerade Potenz ist nie negativ.

Die Vielfachheiten zusammen ergeben höchstens den Grad.

Gleichung am Graphen ablesen: Wo er schneidet, ein einfacher Faktor; wo er berührt, ein quadrierter; mit einem weiteren Punkt \(a\) bestimmen.

Für grosse \(|x|\) dominiert der Leitterm \(a_n x^n\). Grad und Vorzeichen des Leitkoeffizienten legen den Globalverlauf fest:

• \(n\) ungerade, \(a_n \gt 0\): von links unten nach rechts oben; \(a_n \lt 0\): von links oben nach rechts unten.
• \(n\) gerade, \(a_n \gt 0\): beide Enden nach oben; \(a_n \lt 0\): beide Enden nach unten.

Eine Polynomfunktion \(n\)-ten Grades hat höchstens \(n\) Nullstellen und höchstens \(n - 1\) lokale Extremstellen — das sind die Stellen der Hoch- und Tiefpunkte, an denen der Graph die Richtung wechselt (genauer in Kapitel 5). Bei ungeradem Grad gibt es immer mindestens eine Nullstelle.

Symmetrie-Schnellcheck über die Exponenten:

• nur gerade Exponenten (das konstante Glied \(a_0 = a_0 x^0\) zählt als gerade): gerade Funktion, achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse;
• nur ungerade Exponenten (also auch \(a_0 = 0\)): ungerade Funktion, punktsymmetrisch zum Ursprung;
• gemischt: weder gerade noch ungerade — keine dieser beiden Symmetrien.

Nachweis mit \(f(-x) = f(x)\) (gerade) bzw. \(f(-x) = -f(x)\) (ungerade), zum Beispiel:

\[ f(x) = x^3 - 4x:\quad f(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -f(x) \]

Gegeben ist meist die Summenform. Ziel ist die Linearfaktordarstellung — dann stehen die Nullstellen da.

1. Ausklammern, wenn das konstante Glied fehlt: \(x^3 - 9x = x\,(x^2 - 9) = x\,(x-3)(x+3)\).
2. Satz vom Nullprodukt: jeden Faktor null setzen.
3. Sonst eine Nullstelle raten: Bei ganzzahligen Koeffizienten und \(a_n = 1\) ist jede ganzzahlige Nullstelle ein Teiler von \(a_0\). Probe: \(f(x_1) = 0\)?
4. Den Linearfaktor \((x - x_1)\) abspalten: Ansatz \(f(x) = (x - x_1)(x^2 + px + q)\), ausmultiplizieren und die Koeffizienten mit \(f\) vergleichen. Der Quotient \(x^2 + px + q\) hat einen Grad weniger.
5. Den Quotienten faktorisieren oder mit der Lösungsformel lösen.

Beispiel \(f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\): \(f(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0\), also

\[ (x - 1)(x^2 + px + q) = x^3 + (p - 1)\,x^2 + (q - p)\,x - q \]

Vergleich: \(p - 1 = -2 \Rightarrow p = -1\); \(-q = 6 \Rightarrow q = -6\); Kontrolle beim \(x\): \(q - p = -5\) ✓.

\[ f(x) = (x - 1)(x^2 - x - 6) = (x - 1)(x - 3)(x + 2) \]

Den Quotienten liefert auch die Polynomdivision — sie steht auf der Themenseite. Beide Wege geben dasselbe.

Mit dem Taschenrechner lassen sich Nullstellen auch über eine Wertetabelle oder den Gleichungslöser finden — zur Kontrolle.

Ein Hochpunkt \(H\) ist ein lokal höchster Punkt des Graphen: Dort wechselt er von steigend zu fallend. Seine \(y\)-Koordinate ist ein lokales (relatives) Maximum. Entsprechend ist ein Tiefpunkt \(T\) ein lokal tiefster Punkt — ein lokales Minimum.

Ein absolutes (globales) Maximum ist der grösste Funktionswert überhaupt. Viele Polynomfunktionen haben keines, weil sie für grosse \(|x|\) über alle Grenzen wachsen.

Auf einem Intervall \(D = [u;\, v]\) gibt es immer einen grössten und einen kleinsten Wert. Er liegt in einem Hoch- bzw. Tiefpunkt oder am Rand — also beide vergleichen.

Grad 2 exakt (quadratische Funktion \(f(x) = ax^2 + bx + c\)):

\[ x_s = -\frac{b}{2a}, \qquad y_s = f(x_s) \]

Bei \(a \gt 0\) ein Tiefpunkt, bei \(a \lt 0\) ein Hochpunkt.

Ab Grad 3 liest man Hoch- und Tiefpunkte grafisch ab — am Graphen oder mit dem Rechner in einer feinen Wertetabelle. Exakt geht es später mit der Ableitung.