So arbeitest du
- ① Clip anschauen.
- ② Tüfteln: Im Arbeitsbereich veränderst du die Figur, tippst Linien an und gibst Ergebnisse ein — er zeigt ✓, wenn es stimmt.
- ③ Kontrollfragen: Der Clip hält an. Erst antworten.
- ④ Üben mit Rückmeldung, bis drei in Folge sitzen.
- ⑤ Aufgaben auf Papier, mit Skizze, dann Lösung aufklappen und abhaken.
Taschenrechner erlaubt. Winkel in Grad, Längen auf zwei Dezimalen runden, Zwischenresultate ungerundet weiterverwenden.
Kompetenzen
RLP-BM 2030, Grundlagenfach, Teilgebiet 5.2 — hier für die Dreiecke, Taschenrechner erlaubt:
- K1 geometrische Sachverhalte von elementaren Objekten (Quadrat, Rechteck, allgemeine und spezielle Dreiecke, Parallelogramm, Rhombus, Trapez, Kreis) beschreiben — hier: allgemeine und spezielle Dreiecke, Kapitel 1, 2 und 4
- K2 deren Elemente (Höhen, Seiten- und Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Mittellinie im Trapez, Sehne, Sekante, Tangente, Sektor, Segment, Winkel und Winkelmass) und Zusammenhänge (Umfang, Flächeninhalt, Abstand) berechnen — hier: Winkel (Kapitel 1), Höhen, Seiten- und Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte (Kapitel 2), Umfang, Flächeninhalt und Abstand (Kapitel 3), fehlende Seiten und Höhen mit Pythagoras (Kapitel 4). Winkel in Grad (Bogenmass: Teilgebiet 5.4). Seiten-, Winkelhalbierende und Mittelsenkrechte werden vor allem erkannt und über «gleich weit» begründet; berechnet werden Winkel und die Teilung \(2 : 1\).
- K3 die Ähnlichkeit für Berechnungen in der Ebene nutzen — nicht hier, sondern im Leitprogramm Ähnlichkeit (5.2d)
Vierecke und Kreis: eigene Leitprogramme (5.2b, 5.2c). Dreiecksungleichung, Kongruenzsätze, Kathetensatz und Höhensatz: Themenseite 5.2a.
Vorwissen
Winkelarten, Neben- und Wechselwinkel, Rechteck, Flächeneinheiten und eine Formel umstellen. Wenn das wackelt: Themenseite 5.1, Winkeltypen und Winkelpaare.
Vortest · 10 P
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0a(2 P)Spitz, recht, stumpf oder gestreckt? \(35°\); \(90°\); \(140°\); \(180°\).
Lösung
spitz; recht; stumpf; gestreckt.
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0b(2 P)Die Geraden \(g\) und \(h\) im Bild sind parallel. Wie gross sind \(\beta\) und \(\gamma\)? Wie heissen die Winkelpaare?
Lösung
\(\beta = 180° - 65° = 115°\) (Nebenwinkel). \(\gamma = 65°\) (Wechselwinkel an Parallelen).
Wechselwinkel braucht Kapitel 1 für die Winkelsumme.
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0c(2 P)Ein Rechteck ist \(7\,\text{cm}\) lang und \(4\,\text{cm}\) breit. Berechne Fläche und Umfang.
Lösung
\(A = 7 \cdot 4 = 28\,\text{cm}^2\); \(U = 2 \cdot (7 + 4) = 22\,\text{cm}\).
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0d(2 P)Wie viele \(\text{cm}^2\) sind \(1\,\text{m}^2\)? Schreib \(450\,\text{cm}^2\) in \(\text{m}^2\).
Lösung
\(1\,\text{m}^2 = 100\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 10\,000\,\text{cm}^2\); \(450\,\text{cm}^2 = 0.045\,\text{m}^2\).
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0e(2 P)(a) Löse \(15 = \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot h\) nach \(h\) auf. (b) Berechne mit dem Rechner \(\sqrt{30.25}\).
Lösung
(a) \(15 = 3h\), also \(h = 5\). (b) \(5.5\).
Formeln umstellen braucht Kapitel 3, Wurzeln Kapitel 4.
Weniger als 7 von 10 Punkten: zuerst den Clip oben und die verlinkte Stelle der Themenseite 5.1, dann Kapitel 1.
Winkel im Dreieck
Du beschriftest Dreiecke normgerecht, begründest und nutzt die Winkelsumme \(180°\) und den Aussenwinkelsatz und teilst Dreiecke nach Winkeln und nach Seiten ein.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Beschriften: Ecken \(A, B, C\) gegen den Uhrzeigersinn; die Seite \(a\) liegt der Ecke \(A\) gegenüber (ebenso \(b\), \(c\)); der Winkel \(\alpha\) liegt bei \(A\), \(\beta\) bei \(B\), \(\gamma\) bei \(C\).
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180° \]
Warum: Die Parallele zu \(AB\) durch \(C\) bildet mit \(b\) und \(a\) Wechselwinkel, gleich gross wie \(\alpha\) und \(\beta\). Zusammen mit \(\gamma\) liegen sie auf einer Geraden: ein gestreckter Winkel.
Aussenwinkel \(\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}\): der Nebenwinkel des Innenwinkels, \(\alpha^{\prime} = 180° - \alpha\). Aussenwinkelsatz: Jeder Aussenwinkel ist so gross wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammen, \(\gamma^{\prime} = \alpha + \beta\).
Nach Winkeln: spitzwinklig (alle Winkel unter \(90°\)), rechtwinklig (ein Winkel \(90°\)), stumpfwinklig (ein Winkel über \(90°\)). Höchstens ein Winkel ist recht oder stumpf. Im rechtwinkligen Dreieck ergeben die beiden spitzen Winkel zusammen \(90°\).
Nach Seiten: gleichschenklig — zwei gleich lange Seiten (Schenkel), die Basiswinkel sind gleich gross; gleichseitig — drei gleich lange Seiten, alle Winkel \(60°\); ungleichseitig — alle drei Seiten verschieden lang. Gleiche Seiten und gleiche Winkel treten immer zusammen auf.
Mit \(360°\) statt \(180°\) rechnen — \(360°\) gilt im Viereck.
Aussen- und Innenwinkel verwechseln: Der Aussenwinkel liegt an der Verlängerung einer Seite.
Im gleichschenkligen Dreieck vergessen, dass es zwei Basiswinkel gibt.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 1 · 12 P
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1a(2 P)Die Ecken im Bild sind gegen den Uhrzeigersinn mit \(A\), \(B\), \(C\) beschriftet. Schreib \(a\), \(b\), \(c\) und \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) an die richtigen Stellen.
Lösung
\(a\) ist die Seite \(BC\) (gegenüber \(A\)), \(b\) die Seite \(CA\), \(c\) die Seite \(AB\). \(\alpha\) liegt bei \(A\), \(\beta\) bei \(B\), \(\gamma\) bei \(C\).
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1b(3 P)Im Bild ist \(\alpha = 38°\), und der Aussenwinkel bei \(B\) misst \(115°\). Berechne \(\beta\), \(\gamma\) und den Aussenwinkel \(\gamma^{\prime}\).
Lösung
\(\beta = 180° - 115° = 65°\) (Nebenwinkel); \(\gamma = 180° - 38° - 65° = 77°\); \(\gamma^{\prime} = \alpha + \beta = 103°\) (oder \(180° - 77°\)).
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1c(3 P)In einem gleichschenkligen Dreieck misst der Aussenwinkel an einer Basisecke \(116°\). Skizziere und berechne alle drei Innenwinkel.
Lösung
Basiswinkel \(180° - 116° = 64°\), der andere Basiswinkel ebenso \(64°\); Spitze \(180° - 2 \cdot 64° = 52°\).
Wer \(116° : 2 = 58°\) rechnet, verwechselt den Aussenwinkel an der Basis mit dem an der Spitze.
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1d(2 P)Begründe: Jeder Aussenwinkel ist so gross wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammen.
Lösung
Zum Beispiel bei \(C\): \(\gamma^{\prime} = 180° - \gamma\) (Nebenwinkel). Aus der Winkelsumme folgt \(\alpha + \beta = 180° - \gamma\). Beide sind \(180° - \gamma\), also \(\gamma^{\prime} = \alpha + \beta\).
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1e(2 P)Kann ein rechtwinkliges Dreieck gleichschenklig sein? Kann es gleichseitig sein? Begründe mit den Winkeln.
Lösung
Gleichschenklig ja: Die beiden spitzen Winkel sind dann gleich, je \(90° : 2 = 45°\). Gleichseitig nein: Dort sind alle Winkel \(60°\), keiner ist \(90°\).
Mehr dazu: Themenseite 5.2a, Definition, Beweis der Innenwinkelsumme und spezielle Dreiecke
Höhen, Halbierende, Mittelsenkrechte
Du unterscheidest Höhe, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende und Mittelsenkrechte, kennst ihre Schnittpunkte mit Lage und Eigenschaft (gleich weit von den Seiten oder den Ecken, Teilung \(2 : 1\)) und berechnest damit Winkel und Strecken.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
- Höhe \(h_c\): das Lot von \(C\) auf die Gerade durch \(c\). Die drei Höhen schneiden sich im Höhenschnittpunkt \(H\).
- Seitenhalbierende \(s_c\): von \(C\) zur Mitte \(M_c\) von \(c\). Die drei schneiden sich im Schwerpunkt \(S\); er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis \(2 : 1\), vom Eckpunkt aus: \(\overline{CS} = \tfrac{2}{3}\, s_c\).
- Winkelhalbierende \(w_\gamma\): teilt \(\gamma\) in zwei gleiche Teile; jeder ihrer Punkte ist von den beiden Schenkeln gleich weit entfernt. Schnittpunkt: Inkreismittelpunkt \(M_I\), gleich weit von allen drei Seiten.
- Mittelsenkrechte von \(c\): steht in der Mitte von \(c\) senkrecht; jeder ihrer Punkte ist von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt. Schnittpunkt: Umkreismittelpunkt \(M_U\), gleich weit von allen drei Ecken.
Abstand eines Punkts von einer Geraden heisst: senkrecht gemessen, also das Lot. Die Höhe \(h_c\) ist der Abstand der Ecke \(C\) von der Geraden \(AB\).
Lage: \(S\) und \(M_I\) liegen immer innen. Im spitzwinkligen Dreieck liegen auch \(H\) und \(M_U\) innen; im rechtwinkligen liegt \(H\) auf der Ecke mit dem rechten Winkel und \(M_U\) in der Mitte der Hypotenuse; im stumpfwinkligen liegen \(H\) und \(M_U\) aussen — die beiden Höhen aus den spitzen Ecken treffen die Verlängerung der Gegenseite.
Höhe und Mittelsenkrechte verwechseln: Beide stehen senkrecht — die Höhe geht durch die Ecke, die Mittelsenkrechte durch die Seitenmitte.
Inkreis- und Umkreismittelpunkt verwechseln: \(M_I\) ist gleich weit von den Seiten, \(M_U\) gleich weit von den Ecken.
Die Teilung \(2 : 1\) verkehrt: Der längere Teil liegt bei der Ecke.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 2 · 12 P
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2a(3 P)Zeichne im Bild (Kästchen \(1\,\text{cm}\)) die drei Seitenhalbierenden ein. Gib den Schwerpunkt \(S\) als Punkt an und prüf an \(s_c\) die Teilung \(2 : 1\).
Lösung
Seitenmitten \(M_a(4.5 \mid 3)\), \(M_b(0.5 \mid 3)\), \(M_c(4 \mid 0)\); \(S(3 \mid 2)\). Auf \(s_c\): \(\overline{CS} = \sqrt{2^2 + 4^2} \approx 4.47\,\text{cm}\), \(\overline{SM_c} = \sqrt{1^2 + 2^2} \approx 2.24\,\text{cm}\) — doppelt so lang.
Ohne Wurzeln: Von \(C\) nach \(S\) geht es 2 nach rechts und 4 nach unten, von \(S\) nach \(M_c\) 1 nach rechts und 2 nach unten — halb so weit.
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2b(3 P)Im Dreieck ist \(\alpha = 70°\) und \(\beta = 50°\). Die Winkelhalbierende \(w_\gamma\) trifft \(c\) in \(D\). Berechne \(\angle ACD\), \(\angle ADC\) und \(\angle BDC\).
Lösung
\(\gamma = 60°\), also \(\angle ACD = 30°\). Im Dreieck \(ADC\): \(\angle ADC = 180° - 70° - 30° = 80°\). \(\angle BDC = 180° - 80° = 100°\) (Nebenwinkel; oder im Dreieck \(DBC\): \(180° - 50° - 30°\)).
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2c(2 P)Im Bild stehen die Linien 1 und 2 beide senkrecht auf \(c\). Welche ist die Höhe \(h_c\), welche die Mittelsenkrechte von \(c\)? Woran erkennst du es?
Lösung
Linie 1 ist \(h_c\): Sie geht durch die Ecke \(C\). Linie 2 ist die Mittelsenkrechte: Sie geht durch die Mitte von \(c\) (\(4\,\text{cm}\) von \(A\) und von \(B\)), aber nicht durch \(C\).
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2d(2 P)Warum ist der Umkreismittelpunkt \(M_U\) von allen drei Ecken gleich weit entfernt?
Lösung
Jeder Punkt der Mittelsenkrechten von \(c\) ist von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt, jeder Punkt der Mittelsenkrechten von \(a\) von \(B\) und \(C\). \(M_U\) liegt auf beiden: \(\overline{M_UA} = \overline{M_UB} = \overline{M_UC}\). Darum liegt er auch auf der dritten Mittelsenkrechten, und der Kreis um \(M_U\) geht durch alle drei Ecken.
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2e(2 P)Ein Dreieck hat einen Winkel von \(120°\). Welche der Punkte \(H\), \(S\), \(M_I\), \(M_U\) liegen ausserhalb? Begründe für \(H\).
Lösung
\(H\) und \(M_U\) liegen ausserhalb, \(S\) und \(M_I\) innen. Das Dreieck ist stumpfwinklig: Die Höhen aus den beiden spitzen Ecken treffen die Verlängerung der Gegenseite, also verlaufen sie ausserhalb, und ihr Schnittpunkt \(H\) liegt ausserhalb.
Mehr dazu: Themenseite 5.2a, Dreieckselemente (mit der Animation, die alle vier Linien-Familien zeigt)
Fläche und Umfang
Du findest zu einer Grundseite die richtige Höhe — auch ausserhalb des Dreiecks —, begründest \(A = \tfrac{1}{2}\, g \cdot h\), berechnest Fläche, Umfang und eine Höhe als Abstand einer Ecke von einer Geraden.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Jede Seite kann Grundseite \(g\) sein. Die zugehörige Höhe \(h\) ist der Abstand der gegenüberliegenden Ecke von der Geraden durch \(g\) — senkrecht gemessen, auch ausserhalb des Dreiecks.
\[ A = \tfrac{1}{2}\, g \cdot h \qquad h = \frac{2A}{g} \qquad U = a + b + c \]
Warum die Hälfte: Zwei gleiche Dreiecke ergeben ein Parallelogramm; ein Stück abschneiden und anfügen gibt ein Rechteck mit \(g\) und \(h\). Das Dreieck ist die Hälfte davon.
Alle drei Paare gehören zur selben Fläche: \(A = \tfrac{1}{2}\, a \cdot h_a = \tfrac{1}{2}\, b \cdot h_b = \tfrac{1}{2}\, c \cdot h_c\). Zur kürzeren Seite gehört die längere Höhe.
Wandert die Spitze parallel zur Grundseite, bleiben \(g\) und \(h\) und damit die Fläche gleich. Im rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete die Höhe zur anderen.
Vorgehen: Grundseite wählen → zugehörige Höhe bestimmen → Einheiten angleichen → einsetzen → prüfen (Skizze, Grössenordnung, Einheit).
Eine schräge Seite als Höhe nehmen. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite.
Das \(\tfrac{1}{2}\) vergessen: \(g \cdot h\) ist das Rechteck.
Einheiten mischen: \(0.45\,\text{m}\) und \(18\,\text{cm}\) zuerst angleichen.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 3 · 12 P
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3a(3 P)Zeichne im Bild (Kästchen \(1\,\text{cm}\)) die Höhe zur Grundseite \(c = AB\) ein. Wo liegt ihr Fusspunkt? Berechne die Fläche.
Lösung
Die Höhe ist das Lot von \(C\) auf die Gerade \(AB\); ihr Fusspunkt liegt bei \((6 \mid 0)\), \(2\,\text{cm}\) rechts von \(B\) auf der Verlängerung. \(c = 4\,\text{cm}\), \(h_c = 3\,\text{cm}\): \(A = \tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\,\text{cm}^2\).
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3b(3 P)Im Dreieck ist \(a = 9\,\text{cm}\), die Höhe \(h_a = 4\,\text{cm}\) und \(b = 6\,\text{cm}\). Berechne die Fläche. Wie weit ist die Ecke \(B\) von der Geraden \(AC\) entfernt?
Lösung
\(A = \tfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 = 18\,\text{cm}^2\). Der Abstand von \(B\) zur Geraden \(AC\) ist die Höhe \(h_b\): \(h_b = \tfrac{2A}{b} = \tfrac{36}{6} = 6\,\text{cm}\).
Zur kürzeren Seite \(b\) gehört die längere Höhe.
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3c(2 P)Grundseite \(g = 0.45\,\text{m}\), Höhe \(h = 18\,\text{cm}\). Berechne die Fläche in \(\text{cm}^2\) und in \(\text{m}^2\).
Lösung
\(A = \tfrac{1}{2} \cdot 45\,\text{cm} \cdot 18\,\text{cm} = 405\,\text{cm}^2 = 0.0405\,\text{m}^2\).
Wer \(0.45 \cdot 18 : 2 = 4.05\) rechnet, mischt m und cm.
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3d(2 P)Warum ist die Fläche eines Dreiecks \(\tfrac{1}{2}\, g \cdot h\)? Begründe mit einer Skizze.
Lösung
Ein zweites, gleiches Dreieck gedreht daneben gibt ein Parallelogramm mit Grundseite \(g\) und Höhe \(h\). Schneidet man auf einer Seite ein Dreieck ab und setzt es auf der anderen an, entsteht ein Rechteck \(g \times h\). Das Dreieck ist die Hälfte davon.
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3e(2 P)Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis \(7\,\text{cm}\) und den Umfang \(25\,\text{cm}\). Wie lang ist ein Schenkel?
Lösung
Für die beiden Schenkel bleiben \(25 - 7 = 18\,\text{cm}\), einer ist \(9\,\text{cm}\) lang.
Rechtwinklige Dreiecke und Pythagoras
Du erkennst Katheten und Hypotenuse, berechnest mit dem Satz des Pythagoras fehlende Seiten, die Höhe im gleichschenkligen und gleichseitigen Dreieck, Abstände und Seiten in Hilfsdreiecken — auch wenn der Fusspunkt der Höhe ausserhalb liegt — und erkennst, wann der Satz nicht gilt.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Die beiden Seiten am rechten Winkel heissen Katheten, die Seite gegenüber dem rechten Winkel Hypotenuse — die längste Seite.
Satz des Pythagoras (rechter Winkel bei \(C\)):
\[ a^2 + b^2 = c^2 \qquad c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad b = \sqrt{c^2 - a^2} \]
Als Flächen: Die Quadrate über den Katheten haben zusammen so viel Fläche wie das Quadrat über der Hypotenuse.
Gleichschenklig: Die Höhe auf die Basis halbiert die Basis; sie ist zugleich Seitenhalbierende, Winkelhalbierende und Mittelsenkrechte. Jede Hälfte ist rechtwinklig mit dem Schenkel als Hypotenuse: \(h = \sqrt{s^2 - (\tfrac{g}{2})^2}\).
Gleichseitig mit der Seite \(s\): \(h = \sqrt{s^2 - (\tfrac{s}{2})^2} = \tfrac{s}{2}\sqrt{3}\).
Hilfsdreieck: Die Höhe zerlegt jedes Dreieck in rechtwinklige Teile. Liegt ihr Fusspunkt \(F\) auf der Verlängerung von \(c\) hinter \(B\), sind \(BFC\) und \(AFC\) rechtwinklig bei \(F\): \(a = \sqrt{\overline{BF}^2 + h_c^2}\), \(b = \sqrt{(c + \overline{BF})^2 + h_c^2}\).
Prüfen: Die Hypotenuse ist länger als jede Kathete.
Pythagoras ohne rechten Winkel anwenden — er gilt nur im rechtwinkligen Dreieck, mit \(c\) gegenüber dem rechten Winkel.
Bei einer gesuchten Kathete addieren statt subtrahieren (dann wird sie länger als die Hypotenuse).
Die Längen statt der Quadrate addieren, oder die Wurzel vergessen.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 4 · 15 P
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4a(2 P)Im Bild (verkleinert) liegt der rechte Winkel bei \(Q\); \(\overline{PQ} = 7\,\text{cm}\), \(\overline{PR} = 25\,\text{cm}\). Welche Seite ist die Hypotenuse? Berechne \(x = \overline{QR}\).
Lösung
Die Hypotenuse ist \(\overline{PR}\) (gegenüber dem rechten Winkel bei \(Q\)). \(x = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24\,\text{cm}\).
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4b(3 P)Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seite \(10\,\text{cm}\). Berechne die Höhe und die Fläche. Welche anderen Linien fallen mit der Höhe zusammen?
Lösung
\(h = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} \approx 8.66\,\text{cm}\); \(A = \tfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot \sqrt{75} \approx 43.30\,\text{cm}^2\). Die Höhe ist zugleich Seitenhalbierende, Winkelhalbierende und Mittelsenkrechte (das Dreieck ist symmetrisch).
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4c(2 P)Eine \(4.5\,\text{m}\) lange Leiter lehnt an einer senkrechten Wand, ihr Fuss steht \(1.2\,\text{m}\) von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie? Skizziere.
Lösung
Die Leiter ist die Hypotenuse: \(h = \sqrt{4.5^2 - 1.2^2} = \sqrt{18.81} \approx 4.34\,\text{m}\).
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4d(3 P)Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten \(9\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\). Berechne die Hypotenuse, die Fläche und die Höhe auf die Hypotenuse.
Lösung
\(c = \sqrt{81 + 144} = 15\,\text{cm}\). \(A = \tfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\,\text{cm}^2\) (die eine Kathete ist die Höhe zur anderen). Höhe auf \(c\): \(h_c = \tfrac{2A}{c} = \tfrac{108}{15} = 7.2\,\text{cm}\).
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4e(2 P)Lea rechnet im Dreieck mit \(a = 6\,\text{cm}\), \(b = 4\,\text{cm}\) und \(\gamma = 110°\): «\(c = \sqrt{36 + 16} \approx 7.21\,\text{cm}\).» Was ist falsch?
Lösung
Der Satz des Pythagoras gilt nur, wenn zwischen \(a\) und \(b\) ein rechter Winkel liegt. Hier ist \(\gamma = 110°\): \(c^2\) ist nicht \(a^2 + b^2\) — mit \(90°\) wäre \(c \approx 7.21\,\text{cm}\); öffnet sich der Winkel weiter, wird \(c\) länger. (Wie man \(c\) dann berechnet, zeigt Teilgebiet 5.3.)
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4f(3 P)Im Bild ist \(c = \overline{AB} = 5\,\text{cm}\). Die Höhe \(h_c = 3.5\,\text{cm}\) trifft die Verlängerung von \(c\) im Fusspunkt \(F\), \(2\,\text{cm}\) hinter \(B\). Berechne die Seiten \(a\) und \(b\) und den Umfang.
Lösung
Die Höhe bildet zwei rechtwinklige Dreiecke mit dem rechten Winkel bei \(F\). Im Dreieck \(BFC\): \(a = \sqrt{2^2 + 3.5^2} = \sqrt{16.25} \approx 4.03\,\text{cm}\). Im Dreieck \(AFC\) ist \(\overline{AF} = 5 + 2 = 7\,\text{cm}\): \(b = \sqrt{7^2 + 3.5^2} = \sqrt{61.25} \approx 7.83\,\text{cm}\). \(U = 5 + \sqrt{16.25} + \sqrt{61.25} \approx 16.86\,\text{cm}\).
Wer \(b = \sqrt{5^2 + 3.5^2}\) rechnet, nimmt \(c\) als Kathete — die Kathete reicht aber von \(A\) bis zum Fusspunkt \(F\).
Mehr dazu: Themenseite 5.2a, Satzgruppe Pythagoras und halbe Dreiecke
Gesamttest
⬇ Gesamttest (PDF)
⬇ Bewertungspaket (PDF)
| 22 – 25 P | Die geprüften Teile sitzen. Wo du Punkte verloren hast: das Kapitel dieser Aufgabe nochmals (Zuordnung unten). |
| 17 – 21 P | Das schwächste Kapitel nochmals: Tüfteln und Übungen des Kapitels, in dem du die meisten Punkte verloren hast. |
| 11 – 16 P | Zurück zu den Kapiteln aller Aufgaben, in denen du Punkte verloren hast. |
| 0 – 10 P | Zurück zu Kapitel 1 und von dort der Reihe nach weiter. |
Aufgabe → Kapitel: G1 → 1; G2, G3 → 2; G4 → 3 (Seite \(b\) mit 4); G5, G6 → 4 (Fläche und Umfang mit 3); G7 → 2 und 4
Weiter
Als Nächstes: Leitprogramm Vierecke (Themenseite 5.2b) — Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Rhombus und Trapez mit Mittellinie; viele Flächen führen dort auf Dreiecke zurück.
Nicht in diesem Leitprogramm, sondern auf der Themenseite 5.2a: die Dreiecksungleichung, die Kongruenzsätze (wann ein Dreieck eindeutig konstruierbar ist), Kathetensatz und Höhensatz (Satzgruppe Pythagoras) und die Seitenverhältnisse der halben Dreiecke. Ähnliche Dreiecke: Leitprogramm Ähnlichkeit (5.2d); Sinus, Cosinus und Tangens: Leitprogramm Trigonometrische Berechnungen (5.3).