So arbeitest du
- ① Clip anschauen.
- ② Tüfteln: Im Arbeitsbereich veränderst du die Figur, tippst Geraden oder Seiten an und gibst Ergebnisse ein — er zeigt ✓, wenn es stimmt.
- ③ Kontrollfragen: Der Clip hält an. Erst antworten.
- ④ Üben mit Rückmeldung, bis drei in Folge sitzen.
- ⑤ Aufgaben auf Papier, mit Skizze, dann Lösung aufklappen und abhaken.
Taschenrechner erlaubt. Gerundete Ergebnisse auf zwei Dezimalen, Zwischenresultate ungerundet weiterverwenden.
Kompetenzen
RLP-BM 2030, Grundlagenfach, Teilgebiet 5.2 Planimetrie — Taschenrechner erlaubt. Dieses Leitprogramm gehört zur Themenseite 5.2d:
- K3 die Ähnlichkeit für Berechnungen in der Ebene nutzen — Kapitel 1–4.
- K1 geometrische Sachverhalte von elementaren Objekten beschreiben — hier nur: ähnliche Dreiecke, Rechtecke, Quadrate und Kreise (Kapitel 3 und 4).
- K2 Zusammenhänge (Umfang, Flächeninhalt, Abstand) berechnen — hier nur über den Streckfaktor: Abstände zum Zentrum (Kapitel 1 und 2), Umfang und Fläche ähnlicher Figuren (Kapitel 3).
Der Rest von K1 und K2 — Dreiecke, Vierecke, Kreis und Kreisteile mit ihren Elementen — steht auf den Themenseiten 5.2a bis 5.2c und in den Leitprogrammen Dreiecke, Vierecke und Kreis und Kreisteile.
Vorwissen
Verhältnisgleichungen, Winkelsumme, Koordinaten, Flächen und Einheiten. Wenn das wackelt: Leitprogramm Dreiecke (Kapitel 1 und 3) und die Themenseite 5.2a.
Vortest · 10 P
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0a(2 P)Löse: (a) \(\dfrac{x}{6} = \dfrac{4}{3}\) (b) \(\dfrac{5}{x} = \dfrac{2}{7}\)
Lösung
(a) \(x = 6 \cdot \tfrac{4}{3} = 8\). (b) Über Kreuz: \(2x = 35\), \(x = 17.5\).
Solche Verhältnisgleichungen brauchst du in jedem Kapitel.
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0b(2 P)(a) Ein Dreieck hat die Winkel \(48°\) und \(77°\). Wie gross ist der dritte? (b) Im Dreieck \(ABC\) liegt der rechte Winkel bei \(C\). Welche Seite ist die Hypotenuse?
Lösung
(a) \(180° - 48° - 77° = 55°\). (b) \(c = \overline{AB}\), die Seite gegenüber dem rechten Winkel.
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0c(2 P)Von \(Z(1 \mid 2)\) nach \(P(4 \mid 1)\): Wie weit nach rechts, wie weit nach oben? Und von \(P\) zurück nach \(Z\)?
Lösung
\(3\) nach rechts und \(-1\) nach oben (also \(1\) nach unten). Zurück: \(3\) nach links und \(1\) nach oben.
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0d(2 P)(a) Fläche eines Rechtecks \(4.5\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\)? (b) Fläche eines Kreises mit \(r = 3\,\text{cm}\)?
Lösung
(a) \(9\,\text{cm}^2\). (b) \(\pi \cdot 3^2 \approx 28.27\,\text{cm}^2\).
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0e(2 P)(a) Wie viele \(\text{cm}^2\) sind \(3\,\text{m}^2\)? (b) Wie viele \(\text{m}\) sind \(450\,000\,\text{cm}\)?
Lösung
(a) \(1\,\text{m}^2 = 100 \cdot 100\,\text{cm}^2\), also \(30\,000\,\text{cm}^2\). (b) \(4500\,\text{m}\).
Weniger als 7 von 10 Punkten: zuerst die verlinkten Stellen, dann Kapitel 1.
Zentrische Streckung
Du führst eine zentrische Streckung mit Zentrum \(Z\) und Streckfaktor \(k\) aus — auch mit negativem \(k\) und mit Koordinaten — und nennst ihre Eigenschaften.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Gegeben sind ein Streckungszentrum \(Z\) und ein Streckfaktor \(k \neq 0\). Jeder Punkt \(P\) geht auf einen Bildpunkt \(P'\) auf der Geraden durch \(Z\) und \(P\), und \(\overline{ZP'} = |k| \cdot \overline{ZP}\). Bei \(k \gt 0\) liegt \(P'\) auf derselben Seite von \(Z\) wie \(P\), bei \(k \lt 0\) auf der anderen.
\(|k| \gt 1\) vergrössert, \(|k| \lt 1\) verkleinert, \(k = 1\) ändert nichts. Bei \(k \lt 0\) ist das Bild zusätzlich um \(Z\) um \(180°\) gedreht; \(k = -1\) ist die Punktspiegelung an \(Z\).
Mit Koordinaten: den Weg von \(Z\) nach \(P\) mit \(k\) multiplizieren und von \(Z\) aus abtragen. \(Z(1 \mid 1)\), \(C(5 \mid 4)\), \(k = 1.5\): Weg \(4\) nach rechts, \(3\) nach oben; mal \(1.5\): \(6\) und \(4.5\); also \(C'(7 \mid 5.5)\).
Eigenschaften: Winkel bleiben gleich (winkeltreu). Jede Bildseite ist parallel zu ihrer Originalseite — darum bleiben auch parallele Geraden parallel (parallelentreu). Jede Länge wird mit \(|k|\) multipliziert, Längenverhältnisse bleiben (verhältnistreu). Darum hat das Bild dieselbe Form wie das Original.
Die Koordinaten von \(P\) mit \(k\) multiplizieren: Das stimmt nur, wenn \(Z\) im Ursprung liegt. Gestreckt wird vom Zentrum aus.
Bei negativem \(k\) eine negative Länge angeben: Längen werden mit dem Betrag \(|k|\) multipliziert.
Den Abstand vom Originalpunkt aus abtragen statt vom Zentrum aus.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 1 · 12 P
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1a(3 P)Strecke das Dreieck \(PQR\) im Bild vom Zentrum \(Z(4 \mid 2)\) aus mit \(k = -0.5\). Zeichne das Bild ins Karo und gib die Bildpunkte an.
Lösung
\(P'(6 \mid 3)\), \(Q'(4 \mid 3)\), \(R'(7 \mid 1)\). Zum Beispiel \(R\): Weg von \(Z\) nach \(R\) ist \(6\) nach links und \(2\) nach oben; mal \(-0.5\): \(3\) nach rechts und \(1\) nach unten. Das Bild liegt auf der anderen Seite von \(Z\), hat halb so lange Seiten und ist um \(180°\) gedreht.
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1b(3 P)Das Dreieck \(A(0 \mid 2)\), \(B(3 \mid 0)\), \(C(1 \mid 4)\) wird vom Zentrum \(Z(-2 \mid 1)\) aus mit \(k = 2.5\) gestreckt. Berechne \(A'\), \(B'\) und \(C'\).
Lösung
\(A'\): Weg \((2 \mid 1)\), mal \(2.5\): \((5 \mid 2.5)\), also \(A'(3 \mid 3.5)\). \(B'\): Weg \((5 \mid -1)\) → \((12.5 \mid -2.5)\), also \(B'(10.5 \mid -1.5)\). \(C'\): Weg \((3 \mid 3)\) → \((7.5 \mid 7.5)\), also \(C'(5.5 \mid 8.5)\).
Wer \(2.5 \cdot A = (0 \mid 5)\) rechnet, streckt vom Ursprung aus statt von \(Z\).
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1c(2 P)Warum ist die zentrische Streckung mit \(k = -1\) eine Punktspiegelung an \(Z\)?
Lösung
\(P'\) liegt auf der Geraden durch \(Z\) und \(P\), auf der anderen Seite von \(Z\), und \(\overline{ZP'} = 1 \cdot \overline{ZP}\). Also ist \(Z\) die Mitte der Strecke \(PP'\) — genau das macht die Punktspiegelung an \(Z\).
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1d(2 P)Im Bild ist \(A'B'C'\) das Bild von \(ABC\) bei einer zentrischen Streckung. Finde das Zentrum \(Z\) durch Zeichnen und bestimme \(k\).
Lösung
Die Geraden \(AA'\), \(BB'\) und \(CC'\) schneiden sich im Zentrum \(Z(4 \mid 3)\). \(Z\) liegt zwischen Original und Bild, die Bildseiten sind halb so lang: \(k = -0.5\). (Zum Beispiel \(\overline{ZA} = \sqrt{20}\), \(\overline{ZA'} = \sqrt{5}\), Verhältnis \(0.5\).)
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1e(2 P)Tim schreibt: «Bei \(k = -2\) wird eine \(3\,\text{cm}\) lange Strecke \(-6\,\text{cm}\) lang, und weil das Bild gespiegelt ist, hat es andere Winkel.» Was ist falsch?
Lösung
Längen sind nie negativ: Die Bildstrecke ist \(|{-2}| \cdot 3 = 6\,\text{cm}\) lang. Und die Winkel bleiben bei jeder zentrischen Streckung gleich — bei \(k \lt 0\) ist das Bild um \(Z\) gedreht, die Form bleibt dieselbe.
Mehr dazu: Themenseite 5.2d, Zentrische Streckung (Animation 1 mit ziehbaren Punkten)
Strahlensätze
Du erkennst die Strahlensatzfigur, stellst mit dem 1. oder 2. Strahlensatz die passende Verhältnisgleichung auf — auch in der X-Figur und mit den Abständen von \(S\) — und weisst, dass sie nur mit Parallelen gilt.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Die Figur: Zwei Geraden schneiden sich in \(S\) und werden von zwei Parallelen geschnitten, \(AB \parallel A'B'\). Das ist eine zentrische Streckung mit Zentrum \(S\): \(|k| = \overline{SA'} : \overline{SA}\).
1. Strahlensatz (Abschnitte auf den Strahlen): \(\overline{SA} : \overline{SA'} = \overline{SB} : \overline{SB'}\), gleichwertig \(\overline{SA} : \overline{AA'} = \overline{SB} : \overline{BB'}\).
2. Strahlensatz (mit den Parallelenabschnitten): \(\overline{SA} : \overline{SA'} = \overline{AB} : \overline{A'B'}\), ebenso \(\overline{SB} : \overline{SB'} = \overline{AB} : \overline{A'B'}\) — immer mit den ganzen Strecken ab \(S\).
Liegt \(S\) zwischen den Parallelen (X-Figur, \(k \lt 0\)), gelten dieselben Gleichungen mit den Längen.
Abstände: Auch die Abstände von \(S\) zu den beiden Parallelen (senkrecht gemessen) stehen im Verhältnis \(|k|\): Die Streckung bildet das Lot von \(S\) auf \(AB\) auf das Lot von \(S\) auf \(A'B'\) ab. So rechnet man mit Abständen, wenn die Strecken auf den Strahlen nicht bekannt sind (Schatten einer Lampe an der Wand).
Umkehrung des 1. Strahlensatzes: Liegen \(A'\) auf dem Strahl \(SA\) und \(B'\) auf dem Strahl \(SB\) (oder beide auf den Gegenstrahlen, X-Figur) und gilt \(\overline{SA} : \overline{SA'} = \overline{SB} : \overline{SB'}\), dann ist \(AB \parallel A'B'\). Ohne diese Lagebedingung stimmt es nicht: Liegt nur \(B'\) jenseits von \(S\), sind die Verhältnisse gleich, aber die Geraden nicht parallel. Für den 2. Strahlensatz gilt die Umkehrung nicht.
Beispiel (Themenseite, A2): \(\overline{SA} = 4\), \(\overline{SA'} = 10\), \(\overline{SB} = 3\): \(\tfrac{4}{10} = \tfrac{3}{\overline{SB'}}\), also \(\overline{SB'} = \tfrac{10 \cdot 3}{4} = 7.5\) und \(\overline{BB'} = 4.5\).
\(\overline{SA} : \overline{AA'} = \overline{AB} : \overline{A'B'}\) ansetzen: Beim 2. Strahlensatz gehören die ganzen Strecken ab \(S\) dazu, also \(\overline{SA'}\), nicht \(\overline{AA'}\).
Die Strahlensätze ohne Parallelen anwenden: Sind \(AB\) und \(A'B'\) nicht parallel, stimmen die Verhältnisse nicht.
Unterschiede übertragen statt Verhältnisse: Ist \(\overline{SA'}\) um \(3\) länger als \(\overline{SA}\), ist \(\overline{SB'}\) nicht auch um \(3\) länger.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 2 · 15 P
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2a(3 P)Mia will wissen, wie breit der Fluss ist. Der Baum \(T\) steht am anderen Ufer genau gegenüber von \(P\). Sie geht dem Ufer entlang \(30\,\text{m}\) bis \(S\) und weitere \(10\,\text{m}\) bis \(Q\), dann rechtwinklig vom Fluss weg, bis sie \(T\) und \(S\) hintereinander sieht: Das ist nach \(8\,\text{m}\) im Punkt \(R\). Wie breit ist der Fluss?
Lösung
\(PT \parallel QR\) (beide senkrecht zum Ufer), \(S\) liegt zwischen ihnen: X-Figur. \(\overline{PT} : \overline{QR} = \overline{SP} : \overline{SQ}\), also \(\overline{PT} = 8 \cdot \tfrac{30}{10} = 24\,\text{m}\).
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2b(3 P)Zwei Geraden schneiden sich in \(S\). \(\overline{SA} = 6\), \(\overline{SA'} = 9\), \(\overline{SB} = 4\), \(\overline{SB'} = 6.5\) (\(A\), \(A'\) auf der einen, \(B\), \(B'\) auf der anderen Geraden, auf derselben Seite von \(S\)). Sind \(AB\) und \(A'B'\) parallel? Wie lang müsste \(\overline{SB'}\) sein, damit sie es sind?
Lösung
\(\tfrac{6}{9} \approx 0.667\), aber \(\tfrac{4}{6.5} \approx 0.615\): Die Verhältnisse sind verschieden, also sind \(AB\) und \(A'B'\) nicht parallel. Parallel wären sie bei \(\overline{SB'} = 4 \cdot \tfrac{9}{6} = 6\) (Umkehrung des 1. Strahlensatzes).
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2c(2 P)Warum gilt \(\overline{AB} : \overline{A'B'} = \overline{SA} : \overline{SA'}\), aber im Allgemeinen nicht \(\overline{AB} : \overline{A'B'} = \overline{SA} : \overline{AA'}\)?
Lösung
Die Figur ist eine zentrische Streckung mit Zentrum \(S\): Sie bildet \(A\) auf \(A'\) und die Strecke \(AB\) auf \(A'B'\) ab, mit \(|k| = \tfrac{\overline{SA'}}{\overline{SA}}\). Darum ist \(\tfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \tfrac{\overline{SA'}}{\overline{SA}}\). \(\overline{AA'}\) ist kein Bild einer Strecke ab \(S\); das Verhältnis \(\overline{SA} : \overline{AA'}\) gehört nur zum 1. Strahlensatz (Strahl mit Strahl).
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2d(3 P)X-Figur im Bild: \(AB \parallel A'B'\), \(\overline{SA} = 2.4\), \(\overline{SB} = 3\), \(\overline{SA'} = 4\), \(\overline{A'B'} = 6\). Berechne \(\overline{SB'}\) und \(\overline{AB}\).
Lösung
\(|k| = \tfrac{4}{2.4} = \tfrac{5}{3}\). \(\overline{SB'} = 3 \cdot \tfrac{5}{3} = 5\); \(\overline{AB} = 6 \cdot \tfrac{2.4}{4} = 3.6\).
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2e(2 P)Eine Strassenlaterne ist \(6\,\text{m}\) hoch. Eine \(1.8\,\text{m}\) grosse Person steht \(4\,\text{m}\) vom Mast entfernt. Wie lang ist ihr Schatten?
Lösung
Vom Schattenende \(E\) aus: Mast und Person sind parallel, also \(\tfrac{s}{s + 4} = \tfrac{1.8}{6}\). Daraus \(6s = 1.8s + 7.2\), \(s = \tfrac{7.2}{4.2} \approx 1.71\,\text{m}\).
Die Laterne der Themenseite (Einstieg) zeigt dieselbe Figur zum Ziehen.
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2f(2 P)Eine kleine Lampe \(L\) beleuchtet eine \(12\,\text{cm}\) hohe Karte. Die Karte steht parallel zur Wand, \(30\,\text{cm}\) von der Lampe entfernt, die Wand \(1.2\,\text{m}\) von der Lampe (beide Abstände senkrecht gemessen, Bild). Wie hoch ist der Schatten der Karte an der Wand? Warum darfst du mit den Abständen rechnen, obwohl die Lichtstrahlen schräg laufen?
Lösung
Die Lampe ist das Zentrum einer Streckung, die die Karte auf ihren Schatten abbildet (Karte und Wand sind parallel). Sie bildet auch das Lot von \(L\) auf die Kartenebene auf das Lot von \(L\) auf die Wand ab: Die Abstände stehen im selben Verhältnis, \(|k| = \tfrac{120}{30} = 4\). Schatten: \(4 \cdot 12 = 48\,\text{cm}\).
Die Strecken auf den Lichtstrahlen kennst du nicht — die Abstände genügen.
Mehr dazu: Themenseite 5.2d, Strahlensätze und das Strahlensatz-Labor
Ähnliche Figuren: Längen und Flächen
Du erkennst ähnliche Figuren an gleichen Winkeln und gleichen Seitenverhältnissen, rechnest Längen und Umfang mit \(k\), Flächen mit \(k^2\) und arbeitest mit dem Massstab.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Zwei Figuren \(F_1\) und \(F_2\) heissen ähnlich, \(F_1 \sim F_2\), wenn eine zentrische Streckung — eventuell zusammen mit einer Verschiebung, Drehung oder Spiegelung — die eine in die andere überführt.
Dann sind entsprechende Winkel gleich gross, und alle entsprechenden Seiten stehen im selben Verhältnis: \(\tfrac{a'}{a} = \tfrac{b'}{b} = \ldots = k\).
Längen — Seiten, Umfang, Radius, Höhen — wachsen mit \(k\), Flächen mit \(k^2\): \(\tfrac{A'}{A} = k^2\). Umgekehrt: \(k = \sqrt{\tfrac{A'}{A}}\) — oft keine «schöne» Zahl: Doppelte Fläche heisst \(k = \sqrt{2} \approx 1.41\), dreifache \(k = \sqrt{3} \approx 1.73\).
Rechteck \(3 \times 2\) und \(4.5 \times 3\): \(k = 1.5\); Umfang \(10 \to 15\), Fläche \(6 \to 2.25 \cdot 6 = 13.5\). Alle Quadrate und alle Kreise sind ähnlich, Rechtecke nur bei gleichem Seitenverhältnis.
Massstab \(1 : n\): Längen sind in Wirklichkeit \(n\)-mal so lang, Flächen \(n^2\)-mal so gross. Plan \(1 : 200\) (Themenseite, A7): \(2.5\,\text{cm} \to 500\,\text{cm} = 5\,\text{m}\); \(6.25\,\text{cm}^2 \to 6.25 \cdot 40\,000\,\text{cm}^2 = 25\,\text{m}^2\).
Flächen mit \(k\) statt mit \(k^2\) rechnen: Doppelte Seiten geben die vierfache Fläche.
Das Flächenverhältnis für \(k\) halten: Neunfache Fläche heisst \(k = 3\).
Nur eine Seite vergleichen: Ähnlich ist eine Figur erst, wenn alle Seiten mit demselben Faktor wachsen.
\(\text{cm}^2\) in \(\text{m}^2\) mit \(100\) umrechnen: \(1\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2\).
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 3 · 12 P
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3a(3 P)Eine Pizza mit \(30\,\text{cm}\) Durchmesser kostet CHF 18, eine mit \(40\,\text{cm}\) CHF 30. Welche ist im Verhältnis zur Fläche günstiger? Rechne mit dem Streckfaktor.
Lösung
\(k = \tfrac{40}{30} = \tfrac{4}{3}\), die Fläche wächst mit \(k^2 = \tfrac{16}{9} \approx 1.78\). Der Preis wächst nur mit \(\tfrac{30}{18} \approx 1.67\): Die grosse Pizza ist im Verhältnis günstiger.
Mit \(k = 1.33\) statt \(k^2\) wirkt die grosse Pizza teurer — der typische Fehler.
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3b(3 P)Ein A4-Blatt ist \(21\,\text{cm} \times 29.7\,\text{cm}\), ein A5-Blatt \(14.8\,\text{cm} \times 21\,\text{cm}\). Sind die beiden Rechtecke ähnlich? Wie verhalten sich die Flächen, und warum passt das zum Streckfaktor?
Lösung
\(\tfrac{29.7}{21} \approx 1.414\) und \(\tfrac{21}{14.8} \approx 1.419\): Die Verhältnisse unterscheiden sich erst in der dritten Dezimale — so viel machen die auf Millimeter gerundeten Masse aus. Die Blätter sind ähnlich mit \(k \approx 1.41\). Flächen: \(623.7\,\text{cm}^2\) und \(310.8\,\text{cm}^2\), Verhältnis \(\approx 2.01\). Das passt: \(k^2 \approx 1.414^2 \approx 2\). A5 ist ein halbes A4-Blatt, also ist \(k = \sqrt{2}\).
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3c(2 P)Im Bild ist ein Zimmer auf einem Plan im Massstab \(1 : 50\) gezeichnet (ein Häuschen ist \(1\,\text{cm}\)). Wie gross ist das Zimmer in Wirklichkeit? Rechne die Fläche auf zwei Arten: aus den wirklichen Seiten und mit \(n^2\).
Lösung
Abgelesen: \(8\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\). Seiten \(8 \cdot 50 = 400\,\text{cm} = 4\,\text{m}\) und \(6 \cdot 50 = 3\,\text{m}\): \(12\,\text{m}^2\). Mit \(n^2\): \(48\,\text{cm}^2 \cdot 2500 = 120\,000\,\text{cm}^2 = 12\,\text{m}^2\).
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3d(2 P)Warum sind alle Kreise zueinander ähnlich, aber nicht alle Rechtecke?
Lösung
Ein Kreis ist durch seinen Radius bestimmt: Mit \(k = \tfrac{r'}{r}\) geht jeder Kreis in jeden anderen über (Streckung vom Mittelpunkt aus, dann verschieben). Ein Rechteck hat zwei Seiten; ähnlich sind zwei Rechtecke nur, wenn beide Seiten mit demselben Faktor wachsen, also bei gleichem Seitenverhältnis (\(3 \times 2\) und \(6 \times 2\) nicht).
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3e(2 P)Ein Logo mit \(20\,\text{cm}^2\) wird zu einem ähnlichen Logo mit \(45\,\text{cm}^2\) vergrössert. Lena sagt: «Also ist \(k = 2.25\).» Stimmt das? Wie lang wird eine \(4\,\text{cm}\) lange Kante?
Lösung
Nein: \(2.25\) ist das Flächenverhältnis \(\tfrac{45}{20} = k^2\). Also \(k = \sqrt{2.25} = 1.5\), und die Kante wird \(1.5 \cdot 4 = 6\,\text{cm}\) lang.
Mehr dazu: Themenseite 5.2d, Ähnliche Figuren (Animation 4 mit Dreieck, Rechteck und Kreis)
Ähnliche Dreiecke
Du entscheidest, ob zwei Dreiecke ähnlich sind — vor allem mit zwei gleichen Winkeln (WW), daneben mit Seitenverhältnissen (sss, sWs, SsW) —, ordnest entsprechende Seiten über die Winkel zu und berechnest fehlende Längen — auch mit der Höhe im rechtwinkligen Dreieck.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Hauptähnlichkeitssatz (WW): Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Der dritte Winkel folgt aus der Winkelsumme \(180°\).
Weitere Sätze — ähnlich bei Übereinstimmung im Verhältnis aller drei Seiten (sss), im Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sWs) oder im Verhältnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der grösseren Seite (SsW). Das kleine s steht für ein Seitenverhältnis.
Zuordnen: Entsprechende Seiten liegen gleichen Winkeln gegenüber — nicht gleichen Buchstaben. Dann \(k\) aus einem Paar entsprechender Seiten und jede Seite mal \(k\).
Schatten: Die Sonnenstrahlen sind parallel, die Schattendreiecke haben gleiche Winkel (WW). Stab \(1.80\,\text{m}\), Schatten \(1.20\,\text{m}\); Baumschatten \(7.80\,\text{m}\): \(h = 7.80 \cdot \tfrac{1.80}{1.20} = 11.70\,\text{m}\) (Themenseite, A6).
Rechtwinkliges Dreieck (rechter Winkel bei \(C\)): Die Höhe \(h\) auf die Hypotenuse \(c\) (Fusspunkt \(H\)) teilt sie in \(p\) (an \(a\)) und \(q\) (an \(b\)). \(\triangle ABC \sim \triangle AHC \sim \triangle CHB\) — jedes Teildreieck hat einen rechten Winkel und einen spitzen Winkel mit dem ganzen gemeinsam. Daraus:
\[ h^2 = p \cdot q \qquad a^2 = p \cdot c \qquad b^2 = q \cdot c \]
(Höhensatz aus \(\tfrac{h}{p} = \tfrac{q}{h}\), Kathetensatz aus \(\tfrac{a}{p} = \tfrac{c}{a}\).) Beispiel \(p = 1.8\), \(q = 3.2\): \(h = \sqrt{5.76} = 2.4\), \(c = 5\), \(a = \sqrt{9} = 3\), \(b = \sqrt{16} = 4\).
Seiten nach den Buchstaben statt nach den Winkeln zuordnen.
Zwei passende Seitenverhältnisse für genug halten: Bei sss müssen alle drei stimmen (\(3, 4, 5\) und \(6, 8, 9\) sind nicht ähnlich).
Im Kathetensatz den falschen Abschnitt nehmen: Zu \(a\) gehört \(p\), der Abschnitt, der an \(a\) anliegt.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 4 · 16 P
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4a(3 P)Im Bild sind gleich markierte Winkel gleich gross. \(\overline{AB} = 6\), \(\overline{BC} = 5\), \(\overline{CA} = 4\) und \(\overline{QR} = 9\). Begründe, warum die Dreiecke ähnlich sind, und berechne \(\overline{PQ}\) und \(\overline{RP}\).
Lösung
Zwei (sogar drei) Winkel stimmen überein: ähnlich (WW). Zuordnung nach den Winkeln: \(Q \leftrightarrow A\), \(R \leftrightarrow B\), \(P \leftrightarrow C\). \(QR\) entspricht \(AB\): \(k = \tfrac{9}{6} = 1.5\). \(PQ\) entspricht \(CA\): \(1.5 \cdot 4 = 6\); \(RP\) entspricht \(BC\): \(1.5 \cdot 5 = 7.5\).
Wer \(PQ\) zu \(AB\) zuordnet (gleiche Stelle im Namen), bekommt falsche Werte.
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4b(3 P)Dreieck 1 hat die Seiten \(5\), \(7\) und \(8\). (a) Ist Dreieck 2 mit den Seiten \(12\), \(7.5\) und \(10.5\) ähnlich dazu? (b) Und Dreieck 3 mit \(7.5\), \(10.5\) und \(13\)?
Lösung
Der Grösse nach ordnen. (a) \(\tfrac{7.5}{5} = \tfrac{10.5}{7} = \tfrac{12}{8} = 1.5\): ähnlich (sss), \(k = 1.5\). (b) \(\tfrac{7.5}{5} = \tfrac{10.5}{7} = 1.5\), aber \(\tfrac{13}{8} = 1.625\): nicht ähnlich — zwei passende Verhältnisse genügen nicht.
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4c(3 P)Eine \(1.65\,\text{m}\) grosse Person wirft einen \(2.2\,\text{m}\) langen Schatten. Gleichzeitig wirft ein Kirchturm einen \(36.8\,\text{m}\) langen Schatten. Skizziere die beiden Dreiecke und berechne die Höhe des Turms. Warum sind die Dreiecke ähnlich?
Lösung
Beide Dreiecke haben einen rechten Winkel am Boden und denselben Winkel der Sonnenstrahlen (parallel): WW. \(\tfrac{h}{36.8} = \tfrac{1.65}{2.2}\), also \(h = 36.8 \cdot 0.75 = 27.6\,\text{m}\).
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4d(3 P)Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) (rechter Winkel bei \(C\)) teilt die Höhe die Hypotenuse in \(p = 5\,\text{cm}\) (an \(a\)) und \(q = 7.2\,\text{cm}\) (an \(b\)). Berechne \(h\), \(a\) und \(b\).
Lösung
\(h = \sqrt{5 \cdot 7.2} = \sqrt{36} = 6\,\text{cm}\); \(c = 12.2\,\text{cm}\); \(a = \sqrt{5 \cdot 12.2} = \sqrt{61} \approx 7.81\,\text{cm}\); \(b = \sqrt{7.2 \cdot 12.2} = \sqrt{87.84} \approx 9.37\,\text{cm}\). Probe: \(61 + 87.84 = 148.84 = 12.2^2\).
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4e(2 P)Warum genügen bei Dreiecken zwei gleiche Winkel für die Ähnlichkeit, bei Vierecken aber nicht?
Lösung
Im Dreieck legt die Winkelsumme den dritten Winkel fest; alle Winkel gleich heisst beim Dreieck schon gleiche Form (die Seiten sind dann proportional). Beim Viereck nicht: Ein Quadrat und ein Rechteck \(4 \times 1\) haben vier rechte Winkel, aber verschiedene Seitenverhältnisse — sie sind nicht ähnlich.
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4f(2 P)Im Dreieck \(ABC\) ist \(\overline{AB} = 8\,\text{cm}\), \(\overline{AC} = 6\,\text{cm}\) und \(\overline{BC} = 7\,\text{cm}\). \(D\) liegt auf \(AB\) mit \(\overline{AD} = 3\,\text{cm}\), \(E\) auf \(AC\) mit \(\overline{AE} = 4\,\text{cm}\) (Bild). Begründe, warum die Dreiecke \(ADE\) und \(ACB\) ähnlich sind, und berechne \(\overline{DE}\).
Lösung
Beide Dreiecke haben den Winkel bei \(A\) gemeinsam, und \(\tfrac{\overline{AD}}{\overline{AC}} = \tfrac{3}{6} = 0.5 = \tfrac{4}{8} = \tfrac{\overline{AE}}{\overline{AB}}\): zwei Seiten im selben Verhältnis und der eingeschlossene Winkel gleich — ähnlich (sWs), mit \(D \leftrightarrow C\), \(E \leftrightarrow B\), \(k = 0.5\). \(DE\) entspricht \(CB\): \(\overline{DE} = 0.5 \cdot 7 = 3.5\,\text{cm}\).
\(DE\) ist nicht parallel zu \(BC\) (\(\tfrac{3}{8} \neq \tfrac{4}{6}\)) — der Strahlensatz hilft hier nicht, die Ähnlichkeit schon. Wer \(D\) zu \(B\) zuordnet, findet zwei verschiedene Verhältnisse.
Mehr dazu: Themenseite 5.2d, Ähnlichkeitssätze und ähnliche Dreiecke im rechtwinkligen Dreieck
Gesamttest
⬇ Gesamttest (PDF)
⬇ Bewertungspaket (PDF)
| 22 – 25 P | Die geprüften Teile sitzen. Wo du Punkte verloren hast: das Kapitel dieser Aufgabe nochmals (Zuordnung unten). |
| 17 – 21 P | Das schwächste Kapitel nochmals: Tüfteln und Übungen des Kapitels, in dem du die meisten Punkte verloren hast. |
| 11 – 16 P | Zurück zu den Kapiteln aller Aufgaben, in denen du Punkte verloren hast. |
| 0 – 10 P | Zurück zu Kapitel 1 und von dort der Reihe nach weiter. |
Aufgabe → Kapitel: G1 → 1; G2, G3 → 2; G4, G5 → 3; G6, G7 → 4
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Als Nächstes: Leitprogramm Trigonometrische Berechnungen (Teilgebiet 5.3) — dort hängen Sinus, Cosinus und Tangens nur vom Winkel ab, weil alle rechtwinkligen Dreiecke mit demselben Winkel ähnlich sind.
Nicht in diesem Leitprogramm, sondern auf der Themenseite 5.2d: das Strahlensatz-Labor mit ziehbaren Punkten, Volumen im Raum (\(|k|^3\)) und die Herleitung des Satzes von Pythagoras aus dem Kathetensatz. Die übrigen Teile von GF 5.2 — Dreiecke, Vierecke, Kreis und Kreisteile — stehen auf den Themenseiten 5.2a bis 5.2c.