So arbeitest du
- ① Clip anschauen.
- ② Tüfteln: Im Arbeitsbereich veränderst du die Figur, tippst Linien an und gibst Ergebnisse ein — er zeigt ✓, wenn es stimmt.
- ③ Kontrollfragen: Der Clip hält an. Erst antworten.
- ④ Üben mit Rückmeldung, bis drei in Folge sitzen.
- ⑤ Aufgaben auf Papier, mit Skizze, dann Lösung aufklappen und abhaken.
Taschenrechner erlaubt. Längen auf zwei Dezimalen runden, Zwischenresultate ungerundet weiterverwenden.
Kompetenzen
RLP-BM 2030, Grundlagenfach, Teilgebiet 5.2 — hier die Teile zu den Vierecken, Taschenrechner erlaubt:
- K1 geometrische Sachverhalte von elementaren Objekten (Quadrat, Rechteck, allgemeine und spezielle Dreiecke, Parallelogramm, Rhombus, Trapez, Kreis) beschreiben — hier Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Rhombus und Trapez: Kapitel 1 und 3
- K2 deren Elemente (Höhen, Seiten- und Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Mittellinie im Trapez, Sehne, Sekante, Tangente, Sektor, Segment, Winkel und Winkelmass) und Zusammenhänge (Umfang, Flächeninhalt, Abstand) berechnen — hier Winkel (Kapitel 1), Höhe als Abstand, Umfang und Fläche (Kapitel 2), Mittellinie im Trapez (Kapitel 3) und fehlende Längen mit Pythagoras (Kapitel 4)
Nicht hier: Dreiecke und ihre Linien (Leitprogramm Dreiecke), Kreis und Kreisteile (Leitprogramm Kreis und Kreisteile), K3 «die Ähnlichkeit für Berechnungen in der Ebene nutzen» (Leitprogramm Ähnlichkeit).
Vorwissen
Rechteck, Flächeneinheiten, Satz des Pythagoras, Dreiecksfläche und Winkel. Wenn das wackelt: Leitprogramm Dreiecke und Themenseite 5.2a.
Vortest · 10 P
-
0a(2 P)Ein Rechteck ist \(7\,\text{cm}\) lang und \(3\,\text{cm}\) breit. Berechne Fläche und Umfang.
Lösung
\(A = 21\,\text{cm}^2\); \(U = 2(7 + 3) = 20\,\text{cm}\).
-
0b(2 P)Wie viele \(\text{cm}^2\) sind \(1\,\text{m}^2\)? Schreib \(3500\,\text{cm}^2\) in \(\text{m}^2\).
Lösung
\(1\,\text{m}^2 = 100\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 10\,000\,\text{cm}^2\); \(3500\,\text{cm}^2 = 0.35\,\text{m}^2\).
Zwischen benachbarten Flächeneinheiten liegt der Faktor \(100\), nicht \(10\).
-
0c(2 P)Rechtwinkliges Dreieck: (a) Katheten \(8\,\text{cm}\) und \(15\,\text{cm}\) — Hypotenuse? (b) Hypotenuse \(10\,\text{cm}\), eine Kathete \(6\,\text{cm}\) — andere Kathete?
Lösung
(a) \(\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\,\text{cm}\). (b) \(\sqrt{100 - 36} = 8\,\text{cm}\).
Kapitel 4 braucht beides. Falsch? Der Clip oben erklärt den Satz.
-
0d(2 P)Ein Dreieck hat die Grundseite \(10\,\text{cm}\) und die zugehörige Höhe \(4\,\text{cm}\). Wie gross ist seine Fläche?
Lösung
\(A = \tfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20\,\text{cm}^2\).
-
0e(2 P)(a) Wie gross ist der Nebenwinkel von \(65°\)? (b) Wie gross ist die Winkelsumme in einem Dreieck?
Lösung
(a) \(180° - 65° = 115°\). (b) \(180°\).
Beides braucht Kapitel 1.
Weniger als 7 von 10 Punkten: zuerst die verlinkten Stellen, dann Kapitel 1.
Die Vierecks-Familie
Du ordnest Trapez, Parallelogramm, Rechteck, Rhombus und Quadrat nach ihren Bedingungen, beschreibst ihre Seiten, Winkel und Diagonalen, erkennst ein Viereck an seinen Diagonalen und berechnest Winkel.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Ecken \(A, B, C, D\) gegen den Uhrzeigersinn; Seiten \(a = AB\), \(b = BC\), \(c = CD\), \(d = DA\); Winkel \(\alpha\) bei \(A\) bis \(\delta\) bei \(D\); Diagonalen \(e = AC\) und \(f = BD\).
Winkelsumme: \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°\) — die Diagonale \(e\) zerlegt jedes Viereck in zwei Dreiecke mit je \(180°\).
Winkel an Parallelen: Liegen zwei Winkel an derselben Seite zwischen zwei parallelen Seiten, ergänzen sie sich zu \(180°\) — verlängert man die eine Parallele, ist der Nebenwinkel des einen ein Stufenwinkel zum anderen.
| Viereck | Bedingung | dazu gilt immer |
|---|---|---|
| Trapez | ein Paar paralleler Gegenseiten, \(a \parallel c\) | Die zwei Winkel an einem Schenkel ergänzen sich zu \(180°\). |
| Parallelogramm | beide Paare von Gegenseiten parallel | Gegenseiten gleich lang; gegenüberliegende Winkel gleich, benachbarte ergänzen sich zu \(180°\); die Diagonalen halbieren sich. |
| Rechteck | Parallelogramm mit einem rechten Winkel | vier rechte Winkel; die Diagonalen sind gleich lang. |
| Rhombus (Raute) | Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten | Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren die Winkel. |
| Quadrat | Rechteck und Rhombus zugleich | alles oben |
Jede Bedingung macht spezieller, und alles Bisherige gilt weiter: Jedes Quadrat ist ein Rechteck und ein Rhombus, jedes Rechteck und jeder Rhombus ein Parallelogramm, jedes Parallelogramm ein Trapez. Ein Trapez hat dazu mindestens ein Paar paralleler Seiten (so auch die Themenseite).
Das gleichschenklige Trapez ist achsensymmetrisch: Seine Symmetrieachse geht senkrecht durch die Mitten von \(a\) und \(c\). Darum ist \(b = d\), \(\alpha = \beta\) und \(\gamma = \delta\), und die Diagonalen sind gleich lang. \(b = d\) allein genügt nicht: Auch jedes Parallelogramm hat \(b = d\) und ist doch (ausser dem Rechteck) nicht symmetrisch.
Umgekehrt — das Viereck an den Diagonalen erkennen: Halbieren sich die Diagonalen gegenseitig, ist es ein Parallelogramm. Sind sie dazu gleich lang, ist es ein Rechteck; stehen sie dazu senkrecht, ein Rhombus; gilt beides, ein Quadrat. Ohne «halbieren» geht der Schluss nicht: Gleich lange Diagonalen hat auch das gleichschenklige Trapez, senkrechte auch das Trapez mit \(c = 3\), \(v = 1\), \(h = 4\) im Arbeitsbereich oben.
«Ein Quadrat ist kein Rechteck.» Doch: Es hat vier rechte Winkel. Es hat nur noch mehr — vier gleiche Seiten.
Gleich lange Diagonalen beim Rhombus: Sie stehen senkrecht, gleich lang sind sie nur beim Quadrat.
Im Trapez gehören die Winkel am selben Schenkel zusammen (\(\alpha + \delta = 180°\)), nicht die gegenüberliegenden.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 1 · 14 P
-
1a(2 P)Warum ist jedes Quadrat ein Rhombus, aber nicht jeder Rhombus ein Quadrat?
Lösung
Ein Rhombus braucht vier gleich lange Seiten — die hat jedes Quadrat. Ein Quadrat braucht zusätzlich vier rechte Winkel; ein schiefer Rhombus hat sie nicht.
-
1b(3 P)Im Parallelogramm \(ABCD\) ist \(\alpha = 58°\). Berechne \(\beta\), \(\gamma\) und \(\delta\) und begründe mit den parallelen Seiten.
Lösung
\(\beta = 180° - 58° = 122°\) (benachbart an der Seite \(a\), zwischen den Parallelen \(AD\) und \(BC\)); \(\gamma = \alpha = 58°\) (gegenüber); \(\delta = \beta = 122°\). Probe: \(58° + 122° + 58° + 122° = 360°\).
-
1c(3 P)Welches Viereck ist im Bild gezeichnet (1 Häuschen = 1 cm)? Begründe mit den Häuschen. Ist es ein Rhombus?
Lösung
\(AB\) und \(DC\) sind waagrecht und je \(4\,\text{cm}\) lang; \(AD\) und \(BC\) gehen beide 2 nach rechts und 3 nach oben, sind also parallel. Zwei Paare paralleler Gegenseiten: ein Parallelogramm. Kein Rhombus, denn \(AD = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3.61\,\text{cm} \neq 4\,\text{cm}\); kein Rechteck, denn bei \(A\) ist kein rechter Winkel.
-
1d(2 P)Trapez \(ABCD\) mit \(AB \parallel CD\), \(\alpha = 72°\) und \(\beta = 64°\). Berechne \(\gamma\) und \(\delta\).
Lösung
\(\delta = 180° - 72° = 108°\) (am Schenkel \(d\)); \(\gamma = 180° - 64° = 116°\) (am Schenkel \(b\)). Probe: \(72° + 64° + 116° + 108° = 360°\).
Wer \(\gamma = 72°\) schreibt, rechnet wie im Parallelogramm — im Trapez sind gegenüberliegende Winkel nicht gleich.
-
1e(2 P)Im Rhombus im Bild ist \(\alpha = 50°\); die Diagonale \(e = AC\) ist eingezeichnet. Welche Winkel bildet sie bei \(A\) mit den Seiten \(a\) und \(d\)? Wie gross sind \(\beta\), \(\gamma\) und \(\delta\)?
Lösung
Die Diagonale halbiert \(\alpha\): je \(25°\). \(\beta = \delta = 130°\), \(\gamma = 50°\).
-
1f(2 P)Warum ist ein Viereck mit zwei gleich langen Diagonalen noch nicht sicher ein Rechteck? Was muss für die Diagonalen noch gelten?
Lösung
Auch ein gleichschenkliges Trapez, das kein Rechteck ist, hat gleich lange Diagonalen (sie sind Spiegelbilder an der Symmetrieachse). Die Diagonalen müssen sich zusätzlich gegenseitig halbieren: Dann ist das Viereck ein Parallelogramm, und ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen ist ein Rechteck.
Mehr dazu: Themenseite 5.2b, Vierecks-Hierarchie und Definition
Fläche und Umfang
Du begründest \(A = a \cdot h\) für das Parallelogramm mit dem Rechteck, berechnest Umfang und Fläche von Rechteck, Quadrat, Parallelogramm und Rhombus und bestimmst eine Höhe als Abstand zweier paralleler Seiten.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
| Viereck | Fläche | Umfang |
|---|---|---|
| Rechteck (Seiten \(a\), \(b\)) | \(A = a \cdot b\) | \(U = 2(a + b)\) |
| Quadrat (Seite \(a\)) | \(A = a^2\) | \(U = 4a\) |
| Parallelogramm | \(A = a \cdot h_a = b \cdot h_b\) | \(U = 2(a + b)\) |
| Rhombus | \(A = a \cdot h = \tfrac{1}{2}\, e \cdot f\) | \(U = 4a\) |
Warum: Beim Parallelogramm schneidest du auf einer Seite ein Dreieck ab und setzt es auf der anderen an — es entsteht ein Rechteck mit der Grundseite \(a\) und der Höhe \(h\). Der Rhombus füllt genau die Hälfte des Rechtecks \(e \times f\) um seine Diagonalen.
Höhe = Abstand: \(h_a\) ist der senkrechte Abstand der Seite \(a\) von ihrer Gegenseite \(c\), \(h_b\) der Abstand der Seiten \(b = \overline{BC}\) und \(\overline{AD}\). Die Fläche ist dieselbe, welche Seite auch Grundseite ist: \(h_b = \tfrac{A}{b}\).
Verschiebst du die obere Seite (Scherung), bleiben \(a\), \(h\) und damit \(A\) gleich; der Umfang ändert sich in der Regel, weil \(b\) länger oder kürzer wird (gleich bleibt er etwa, wenn du \(v\) durch \(-v\) ersetzt).
Einheiten zuerst angleichen: \(1\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2\). Die Themenseite schreibt die Parallelogrammfläche auch \(g \cdot h\): Grundseite mal zugehörige Höhe.
Die schräge Seite als Höhe nehmen: \(a \cdot b\) ist zu gross. Die Höhe steht senkrecht.
Das \(\tfrac{1}{2}\) verwechseln: Beim Parallelogramm gibt es keins (das wäre das Dreieck), beim Rhombus mit den Diagonalen schon.
Bei \(h_b\) wie beim Dreieck rechnen: \(\tfrac{2A}{b}\) ist doppelt so gross.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 2 · 13 P
-
2a(3 P)Zeichne im Bild die Höhe zur Seite \(AB\) ein (1 Häuschen = 1 cm), lies ab, was du brauchst, und berechne die Fläche. Warum brauchst du die Länge der schrägen Seite nicht?
Lösung
Die Höhe ist das Lot von \(D\) (oder \(C\)) auf \(AB\): \(h = 3\,\text{cm}\); \(a = AB = 5\,\text{cm}\). \(A = 5 \cdot 3 = 15\,\text{cm}^2\). Die schräge Seite kommt in der Fläche nicht vor: Schneidet man das Dreieck links ab und setzt es rechts an, entsteht ein Rechteck \(5 \times 3\).
-
2b(2 P)Ein Rhombus hat die Diagonalen \(e = 12\,\text{cm}\) und \(f = 9\,\text{cm}\). Berechne die Fläche und begründe die Formel.
Lösung
\(A = \tfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54\,\text{cm}^2\). Die Diagonalen teilen den Rhombus in vier rechtwinklige Dreiecke; das Rechteck \(12 \times 9\) um die Diagonalen besteht aus acht solchen Dreiecken — der Rhombus ist die Hälfte.
-
2c(3 P)Eine Tischplatte ist \(1.2\,\text{m}\) lang und \(80\,\text{cm}\) breit. Berechne die Fläche in \(\text{m}^2\) und in \(\text{cm}^2\) und den Umfang.
Lösung
\(A = 1.2\,\text{m} \cdot 0.8\,\text{m} = 0.96\,\text{m}^2 = 9600\,\text{cm}^2\); \(U = 2(1.2 + 0.8) = 4\,\text{m}\).
Wer \(1.2 \cdot 80 = 96\) rechnet, mischt m und cm.
-
2d(3 P)Ein Parallelogramm hat \(a = 12\,\text{cm}\), \(b = 7.5\,\text{cm}\) und die Höhe \(h_a = 5\,\text{cm}\). Berechne Fläche, Umfang und den Abstand \(h_b\) der Seiten \(\overline{AD}\) und \(\overline{BC}\).
Lösung
\(A = 12 \cdot 5 = 60\,\text{cm}^2\); \(U = 2(12 + 7.5) = 39\,\text{cm}\); \(h_b = \tfrac{60}{7.5} = 8\,\text{cm}\).
-
2e(2 P)Warum gilt für den Rhombus auch \(A = a \cdot h\)? Ein Rhombus hat \(e = 18\,\text{cm}\), \(f = 24\,\text{cm}\) und die Seite \(a = 15\,\text{cm}\). Wie gross ist seine Höhe?
Lösung
Jeder Rhombus ist ein Parallelogramm, also gilt \(A = a \cdot h\). Mit den Diagonalen: \(A = \tfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 216\,\text{cm}^2\), also \(h = \tfrac{216}{15} = 14.4\,\text{cm}\).
Mehr dazu: Themenseite 5.2b, Umfang und Flächeninhalt
Trapez und Mittellinie
Du erklärst die Mittellinie des Trapezes, begründest \(A = \tfrac{1}{2}(a + c) \cdot h = m \cdot h\) und berechnest Mittellinie und Fläche — auch rückwärts die Höhe oder eine Parallelseite.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Im Trapez sind die Grundseiten \(a\) und \(c\) parallel; die Schenkel \(b\) und \(d\) verbinden sie. Die Höhe \(h\) ist der Abstand der beiden Parallelen.
Die Mittellinie \(m\) verbindet die Mitten der Schenkel. Sie ist parallel zu \(a\) und \(c\), liegt auf halber Höhe und ist das Mittel der Parallelseiten:
\[ m = \tfrac{1}{2}(a + c) \qquad A = \tfrac{1}{2}(a + c) \cdot h = m \cdot h \qquad U = a + b + c + d \]
Warum: Zwei gleiche Trapeze, das zweite um \(180°\) gedreht, ergeben ein Parallelogramm mit der Grundseite \(a + c\) und der Höhe \(h\). Ein Trapez ist die Hälfte davon.
Rückwärts: \(h = \tfrac{A}{m}\). Fehlt \(c\): \(m = \tfrac{A}{h}\), dann \(c = 2m - a\).
Verschiebst du die obere Seite, bleiben \(a\), \(c\) und \(h\) — also auch \(m\) und \(A\). Nur der Umfang kann sich ändern.
Den Schenkel als Höhe nehmen: Die Höhe steht senkrecht auf \(a\) und \(c\) und ist kürzer als ein schräger Schenkel.
Das \(\tfrac{1}{2}\) vergessen: \((a + c) \cdot h\) ist das Parallelogramm aus zwei Trapezen.
Rückwärts \(c = \tfrac{2A}{h}\) schreiben: Das ist \(a + c\); es fehlt das \(-\,a\).
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 3 · 12 P
-
3a(2 P)Trapez mit \(a = 11\,\text{cm}\), \(c = 7\,\text{cm}\) und \(h = 4.5\,\text{cm}\): Berechne die Mittellinie und die Fläche.
Lösung
\(m = \tfrac{1}{2}(11 + 7) = 9\,\text{cm}\); \(A = 9 \cdot 4.5 = 40.5\,\text{cm}^2\).
-
3b(3 P)Zeichne im Bild die Mittellinie ein (1 Häuschen = 1 cm). Lies \(a\), \(c\) und \(h\) ab und berechne \(m\) und \(A\).
Lösung
\(a = 8\,\text{cm}\), \(c = 5\,\text{cm}\), \(h = 3\,\text{cm}\). Die Mittellinie verbindet die Mitten von \(AD\) und \(BC\), auf halber Höhe \(1.5\,\text{cm}\): \(m = \tfrac{1}{2}(8 + 5) = 6.5\,\text{cm}\); \(A = 6.5 \cdot 3 = 19.5\,\text{cm}^2\).
-
3c(3 P)Ein Wassergraben hat einen trapezförmigen Querschnitt: unten \(1.2\,\text{m}\), oben \(3\,\text{m}\) breit. Die Querschnittsfläche ist \(2.73\,\text{m}^2\). Wie tief ist der Graben? Skizziere den Querschnitt.
Lösung
\(m = \tfrac{1}{2}(3 + 1.2) = 2.1\,\text{m}\); \(h = \tfrac{2.73}{2.1} = 1.3\,\text{m}\).
\(2.73 : 4.2 = 0.65\) ist die halbe Tiefe: geteilt durch \(a + c\) statt durch \(m\).
-
3d(2 P)Begründe mit zwei gleichen Trapezen, warum \(A = \tfrac{1}{2}(a + c) \cdot h\) gilt.
Lösung
Dreht man eine Kopie um \(180°\) und legt sie an einen Schenkel, ergänzen sich die Parallelseiten zu einer Strecke \(a + c\) unten und oben: Es entsteht ein Parallelogramm mit Grundseite \(a + c\) und Höhe \(h\), Fläche \((a + c) \cdot h\). Ein Trapez ist die Hälfte.
-
3e(2 P)Lena rechnet für ein Trapez mit \(a = 10\,\text{cm}\), \(c = 4\,\text{cm}\) und zwei schrägen Schenkeln von je \(5\,\text{cm}\): «\(A = \tfrac{1}{2}(10 + 4) \cdot 5 = 35\,\text{cm}^2\).» Was ist falsch? Ist die richtige Fläche grösser oder kleiner?
Lösung
Sie setzt den Schenkel als Höhe ein. Die Höhe steht senkrecht und ist kürzer als ein schräger Schenkel — die richtige Fläche ist kleiner als \(35\,\text{cm}^2\). (Mit Kapitel 4: \(h = 4\,\text{cm}\), \(A = 28\,\text{cm}^2\).)
Mehr dazu: Themenseite 5.2b, Scherung und Umfang und Flächeninhalt
Fehlende Längen
Du findest im Viereck das rechtwinklige Teildreieck, berechnest mit Pythagoras Diagonalen, Seiten und Höhen von Rechteck, Quadrat, Rhombus, Parallelogramm und gleichschenkligem Trapez und setzt sie in Umfang und Fläche ein.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Vorgehen: Skizze → rechtwinkliges Teildreieck suchen → Katheten und Hypotenuse benennen (die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber) → Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\) → in die Formel für Umfang oder Fläche einsetzen.
| Viereck | rechtwinkliges Teildreieck und Formel |
|---|---|
| Rechteck | die Seiten \(a\), \(b\); Hypotenuse: die Diagonale \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| Quadrat | zweimal die Seite \(a\); Hypotenuse: die Diagonale \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\) |
| Rhombus | die halben Diagonalen; Hypotenuse: die Seite \(a = \sqrt{(\tfrac{e}{2})^2 + (\tfrac{f}{2})^2}\) |
| Parallelogramm | Höhe \(h\) von \(D\) und das Stück \(\overline{AF}\) bis zum Fusspunkt \(F\); Hypotenuse: die Seite \(\overline{AD}\) \(h = \sqrt{\overline{AD}^2 - \overline{AF}^2}\) |
| gleichschenkliges Trapez | Höhe \(h\) und Überstand \(\text{ü} = \tfrac{a - c}{2}\); Hypotenuse: der Schenkel \(s\) \(h = \sqrt{s^2 - \text{ü}^2}\) |
Im Rhombus stehen die Diagonalen senkrecht und halbieren sich — darum die Hälften. Im gleichschenkligen Trapez verteilt sich der Unterschied \(a - c\) auf zwei gleiche Überstände links und rechts.
\(d = a\sqrt{2}\) gilt nur im Quadrat. Im Rechteck \(12 \times 5\) ist \(d = 13\), nicht \(12\sqrt{2} \approx 16.97\).
Den ganzen Unterschied \(a - c\) als Überstand nehmen, beim Rhombus die ganzen Diagonalen statt der Hälften.
Längen addieren statt Quadrate: \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\), nicht \(3 + 4\).
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 4 · 14 P
-
4a(3 P)Ein Fernseher hat einen Bildschirm von \(89\,\text{cm}\) Breite und \(50\,\text{cm}\) Höhe. Wie lang ist die Diagonale in cm und in Zoll (\(1\,\text{Zoll} = 2.54\,\text{cm}\))?
Lösung
\(d = \sqrt{89^2 + 50^2} = \sqrt{10\,421} \approx 102.08\,\text{cm}\); \(102.08 : 2.54 \approx 40.19\,\text{Zoll}\).
-
4b(3 P)Der Rhombus im Bild hat die Diagonalen \(e = 48\,\text{cm}\) und \(f = 14\,\text{cm}\) (verkleinert gezeichnet). Berechne die Seite, den Umfang und die Fläche.
Lösung
Halbe Diagonalen \(24\) und \(7\): \(a = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{625} = 25\,\text{cm}\); \(U = 4 \cdot 25 = 100\,\text{cm}\); \(A = \tfrac{1}{2} \cdot 48 \cdot 14 = 336\,\text{cm}^2\).
\(\sqrt{48^2 + 14^2} = 50\) ist doppelt so lang: Die Katheten sind die Hälften.
-
4c(4 P)Gleichschenkliges Trapez mit \(a = 20\,\text{cm}\), \(c = 12\,\text{cm}\) und Schenkeln von \(8.5\,\text{cm}\). Berechne Höhe, Fläche und Umfang. Skizziere das Teildreieck.
Lösung
Überstand \(\tfrac{20 - 12}{2} = 4\,\text{cm}\); \(h = \sqrt{8.5^2 - 4^2} = \sqrt{56.25} = 7.5\,\text{cm}\). \(A = \tfrac{1}{2}(20 + 12) \cdot 7.5 = 120\,\text{cm}^2\); \(U = 20 + 12 + 2 \cdot 8.5 = 49\,\text{cm}\).
-
4d(2 P)Warum gilt \(d = a\sqrt{2}\) nur im Quadrat? Was gilt im Rechteck?
Lösung
Im Quadrat sind beide Katheten des Teildreiecks gleich \(a\): \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\). Im Rechteck sind sie verschieden: \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\).
-
4e(2 P)Ein Quadrat hat die Diagonale \(10\,\text{cm}\). Wie lang ist eine Seite, wie gross die Fläche? Tipp: Ein Quadrat ist auch ein Rhombus.
Lösung
\(a = \tfrac{10}{\sqrt{2}} \approx 7.07\,\text{cm}\). Fläche mit den Diagonalen: \(A = \tfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50\,\text{cm}^2\) (Probe: \(7.07^2 \approx 50\)).
Mehr dazu: Themenseite 5.2b, Häufige Fehler zur Diagonale und zur Trapezhöhe
Gesamttest
⬇ Gesamttest (PDF)
⬇ Bewertungspaket (PDF)
| 21 – 24 P | Die geprüften Teile sitzen. Wo du Punkte verloren hast: das Kapitel dieser Aufgabe nochmals (Zuordnung unten). |
| 16 – 20 P | Das schwächste Kapitel nochmals: Tüfteln und Übungen des Kapitels, in dem du die meisten Punkte verloren hast. |
| 11 – 15 P | Zurück zu den Kapiteln aller Aufgaben, in denen du Punkte verloren hast. |
| 0 – 10 P | Zurück zu Kapitel 1 und von dort der Reihe nach weiter. |
Aufgabe → Kapitel: G1 → 1; G2 → 2 und 4; G3 → 4 und 2; G4 → 3 und 4; G5 → 3; G6 → 4 und 2
Weiter
Als Nächstes: Leitprogramm Kreis und Kreisteile (5.2c) — Sehne, Tangente, Bogen, Sektor und Segment.
Nicht in diesem Leitprogramm, sondern auf der Themenseite 5.2b: der Drachen (für ihn gilt ebenfalls \(A = \tfrac{1}{2}\, e \cdot f\)), die Winkelsumme im \(n\)-Eck, Sehnen- und Tangentenvierecke und regelmässige Vielecke — sie stehen nicht in den Kompetenzen des Rahmenlehrplans.