Exponential- und Logarithmusfunktionen

\[ y = f(x) = a^x, \qquad a \in \mathbb{R}^+,\ a \neq 1 \]

heisst Exponentialfunktion mit der Basis \(a\). Die Variable \(x\) steht im Exponenten: Geht \(x\) um \(1\) weiter, wird \(y\) mit \(a\) multipliziert.

• \(D = \mathbb{R}\), \(W = \mathbb{R}^+\) — \(a^x\) ist immer positiv, es gibt keine Nullstelle.
• Alle Kurven gehen durch \((0 \mid 1)\), denn \(a^0 = 1\); bei \(x = 1\) steht die Basis: \((1 \mid a)\).
• Asymptote ist die \(x\)-Achse \((y = 0)\).
• \(a \gt 1\): die Kurve steigt (Wachstum); \(0 \lt a \lt 1\): sie fällt (Zerfall).
• \(y = a^{-x} = \left(\frac{1}{a}\right)^{x}\): Die Basen \(a\) und \(\frac{1}{a}\) gehören zu Kurven, die an der \(y\)-Achse gespiegelt sind.

Basis aus einem Punkt: Geht die Kurve durch \((2 \mid 9)\), ist \(a^2 = 9\), also \(a = 3\) — nur die positive Lösung.

\[ N(t) = N_0 \cdot a^{t} \]

\(N_0 = N(0)\) ist der Startwert, \(a\) der Wachstumsfaktor je Zeitschritt.

• Zunahme um \(p\,\%\): \(a = 1 + \frac{p}{100}\) — zum Beispiel \(+5\,\%\) gibt \(a = 1.05\).
• Abnahme um \(p\,\%\): \(a = 1 - \frac{p}{100}\) — zum Beispiel \(-20\,\%\) gibt \(a = 0.8\).

Verdopplungszeit \(T\): \(N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T}\). Halbwertszeit \(T\): \(N(t) = N_0 \cdot \left(\tfrac12\right)^{t/T}\). Nach \(j\) solchen Zeiten ist \(j\)-mal verdoppelt bzw. halbiert.

Exponentiell oder linear? Bei gleichen Zeitschritten ist bei exponentiellem Wachstum der Quotient aufeinanderfolgender Werte gleich, bei linearem die Differenz.

Die Eulersche Zahl \(e \approx 2.71828\) ist der Grenzwert von \(\left(1 + \frac1n\right)^n\) für immer grössere \(n\). Die natürliche Exponentialfunktion ist

\[ y = e^{x} \]

Sie liegt für \(x \gt 0\) zwischen \(2^x\) und \(3^x\) und geht durch \((0 \mid 1)\) und \((1 \mid e)\).

Basiswechsel: Eine Exponentialfunktion \(c^x\) lässt sich zu jeder anderen Basis \(a\) schreiben, denn \(c = a^{b}\) mit \(b = \log_a c\):

\[ c^{x} = \left(a^{b}\right)^{x} = a^{b\,x}, \qquad b = \log_a c \]

Beispiele: \(8^x = 2^{3x}\), \(9^x = 3^{2x}\), \(\left(\tfrac14\right)^x = 2^{-2x}\). Im Bild: die Kurve von \(a^x\), in \(x\)-Richtung gestaucht oder gestreckt — bei \(b \lt 0\) zusätzlich an der \(y\)-Achse gespiegelt.

Zur Basis \(e\) braucht es den natürlichen Logarithmus \(\ln c = \log_e c\) (Teilgebiet 1.3): Er ist der Exponent, mit dem man \(e\) potenzieren muss, um \(c\) zu erhalten, also \(e^{\ln c} = c\). Damit gilt immer

\[ c^{x} = e^{b\,x} \quad \text{mit } b = \ln c \]

Beispiel: \(3^x = e^{(\ln 3)\,x}\). \(b \gt 0\) (also \(c \gt 1\)): Wachstum; \(b \lt 0\) (also \(0 \lt c \lt 1\)): Zerfall.

Viele Vorgänge streben nicht ins Unendliche, sondern auf einen Sättigungswert \(S\) zu:

\[ f(t) = S - (S - A)\,e^{-k t}, \qquad k \gt 0 \]

mit Startwert \(A = f(0)\). Für \(t \to \infty\) geht \(e^{-kt} \to 0\), also \(f(t) \to S\): Die Waagrechte \(y = S\) ist Asymptote. Ist \(A \neq S\), wird \(S\) nie erreicht (bei \(A = S\) ist \(f\) konstant).

• \(A \lt S\): Die Kurve steigt gegen \(S\) (Erwärmen, Aufladen).
• \(A \gt S\): Die Kurve fällt gegen \(S\) (Abkühlen).

Der Abstand zum Sättigungswert \(|S - f(t)| = |S - A|\,e^{-kt}\) nimmt exponentiell ab — wie ein Zerfall (beim Erwärmen heisst er auch Rückstand). Halbiert er sich alle \(T\) Minuten, ist er nach \(2T\) auf einen Viertel gesunken. Je grösser \(k\), desto schneller nähert sich \(f\) dem Sättigungswert.

Beispiel Kaffee: \(f(t) = 20 + 60\,e^{-kt}\), der Abstand halbiert sich alle 10 min: \(80 \to 50 \to 35 \to 27.5\) °C.

\[ y = f(x) = \log_a x, \qquad a \in \mathbb{R}^+,\ a \neq 1 \]

ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion \(y = a^x\): \(\log_a x\) ist der Exponent, mit dem man \(a\) potenzieren muss, um \(x\) zu erhalten.

Ihr Graph ist die an der Winkelhalbierenden \(y = x\) gespiegelte Exponentialkurve — dabei tauschen die Rollen:

• \(D = \mathbb{R}^+\), \(W = \mathbb{R}\);
• Nullstelle \(x_0 = 1\): alle Kurven gehen durch \((1 \mid 0)\);
• Asymptote ist die \(y\)-Achse \((x = 0)\);
• \(a \gt 1\): steigt, immer flacher, aber ohne Grenze; \(0 \lt a \lt 1\): fällt.

Spezialfälle: \(\ln x = \log_e x\) und \(\lg x = \log_{10} x\).

Umkehrfunktion bestimmen: nach \(x\) auflösen, dann \(x\) und \(y\) tauschen. Aus \(y = 2^x + 1\) wird \(x = \log_2(y - 1)\), also \(f^{-1}(x) = \log_2(x - 1)\).

Dabei wandert die Asymptote mit: Die waagrechte Asymptote \(y = 1\) von \(f\) wird die senkrechte Asymptote \(x = 1\) von \(f^{-1}\), und \(D_{f^{-1}} = \,]1;\, \infty[\) — das Argument muss positiv sein.

Gleichung mit \(x\) im Exponenten: erst die Potenz freistellen, dann logarithmieren: \(3 \cdot 2^t = 96 \Rightarrow 2^t = 32 \Rightarrow t = \log_2 32 = 5\).