Potenz- und Wurzelfunktionen

\[ f(x) = a \cdot x^{n}, \qquad a \in \mathbb{R}\setminus\{0\},\ n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} \]

Für \(n \geq 2\) heisst der Graph Parabel \(n\)-ter Ordnung. \(D = \mathbb{R}\).

Der Exponent \(n\) bestimmt die Form, seine Parität die Symmetrie:

• \(n\) gerade \(\Rightarrow f(-x) = f(x)\): gerade Funktion, Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
• \(n\) ungerade \(\Rightarrow f(-x) = -f(x)\): ungerade Funktion, Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

Feste Punkte: Alle \(y = x^{n}\) mit \(n \geq 1\) gehen durch \((0 \mid 0)\) und \((1 \mid 1)\) — für \(n \lt 0\) fehlt die Stelle \(0\) in \(D\), \((1 \mid 1)\) bleibt. Bei \(x = -1\) trennen sie sich: gerades \(n\) gibt \(+1\), ungerades \(-1\).

\(a\) streckt in \(y\)-Richtung: \(|a| \gt 1\) schmaler, \(|a| \lt 1\) breiter, \(a \lt 0\) spiegelt an der \(x\)-Achse. Es gilt immer \(f(1) = a\).

Zwischen \(-1\) und \(1\) wird die Kurve mit wachsendem \(n\) flacher, ausserhalb steiler.

\[ f(x) = a \cdot x^{-n} = \frac{a}{x^{n}}, \qquad n \in \mathbb{N}\setminus\{0\} \]

Der Graph heisst Hyperbel \(n\)-ter Ordnung. An der Stelle \(0\) müsste man durch null teilen — sie fehlt:

\[ D = \mathbb{R}\setminus\{0\} \]

Die Kurve zerfällt dort in zwei Äste. Die Stelle \(x = 0\) heisst Polstelle, die \(y\)-Achse Polgerade.

Asymptoten: Beide Achsen. Die Äste kommen ihnen beliebig nahe, erreichen sie aber nie.

Wieder entscheidet die Parität von \(n\):

• \(n\) gerade (also \(y = \frac{a}{x^{2}}\), \(\frac{a}{x^{4}}\), …): gerade Funktion, beide Äste auf derselben Seite — bei \(a \gt 0\) oben, bei \(a \lt 0\) unten.
• \(n\) ungerade: ungerade Funktion, die Äste liegen diagonal in gegenüberliegenden Quadranten.

Keine Nullstelle: Ein Bruch ist nur null, wenn sein Zähler null ist — und \(a \neq 0\). Durch \((1 \mid a)\) gehen aber alle.

Wertemenge \(W\) — die Menge aller Werte, die \(f\) überhaupt annimmt: Bei ungeradem \(n\) ist \(W = \mathbb{R}\setminus\{0\}\) (jeder Wert ausser null kommt vor), bei geradem \(n\) nur die eine Hälfte — \(W = \mathbb{R}^{+}\) für \(a \gt 0\), \(W = \mathbb{R}^{-}\) für \(a \lt 0\).

\[ f(x) = a \cdot (x - u)^{n} + v \]

Dasselbe Schema wie bei jeder Grundfunktion (Teilgebiet 3.1):

• \(u\) verschiebt waagrecht und steht in der Klammer mit umgekehrtem Vorzeichen: \((x - 2)^3\) ist \(2\) nach rechts.
• \(v\) verschiebt senkrecht und steht hinter der Potenz mit seinem eigenen Vorzeichen.
• \(a\) streckt in \(y\)-Richtung; \(a \lt 0\) spiegelt an der Waagrechten \(y = v\).

Bei \(n \geq 2\) wandert der ausgezeichnete Punkt des Graphen nach \((u \mid v)\). Er heisst bei \(n = 2\) Scheitel, bei grösserem geradem \(n\) Flachpunkt und bei ungeradem \(n\) Terrassenpunkt (so auch auf Themenseite 3.2a).

Bei \(n \lt 0\) wandern die Asymptoten mit:

\[ x = u \qquad \text{und} \qquad y = v, \qquad D = \mathbb{R}\setminus\{u\} \]

Nullstellen berechnet man mit \(f(x) = 0\):

\[ a\,(x-u)^{n} = -v \;\Longrightarrow\; (x-u)^{n} = -\tfrac{v}{a} \]

Bei geradem \(n\) hängt es an der rechten Seite: ist sie positiv, gibt das Wurzelziehen zwei Lösungen \((\pm)\); ist sie null, genau eine; ist sie negativ, keine — dann ist \(\mathbb{L} = \{\,\}\). Bei ungeradem \(n\) gibt es immer genau eine.

Die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) macht rückgängig, was \(f\) tut: Aus dem bekannten \(y\) wird das gesuchte \(x\).

Im Bild ist das eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(y = x\):

\[ (x \mid y) \;\longmapsto\; (y \mid x) \]

Punkte auf \(y = x\) bleiben liegen, etwa \((1 \mid 1)\). Definitions- und Wertemenge tauschen die Rollen.

Das Rezept — drei Schritte:

1. Nach \(x\) auflösen.
2. \(x\) und \(y\) vertauschen.
3. Definitionsmenge prüfen.

Beispiel: \(y = x^{3} + 1 \Rightarrow x^{3} = y - 1 \Rightarrow x = \sqrt[3]{y-1}\), vertauscht: \(f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x-1}\).

Die Parität entscheidet wieder:

• \(n\) ungerade: \(f\) steigt überall, jedem \(y\) gehört genau ein \(x\) — direkt umkehrbar, \(f^{-1}(x) = \sqrt[n]{x}\) mit \(D = \mathbb{R}\).
• \(n\) gerade: \(f(-x) = f(x)\), zu einem \(y\) gäbe es zwei \(x\). Erst auf \(x \geq 0\) einschränken, dann ist \(f^{-1}(x) = \sqrt[n]{x}\) mit \(D = \mathbb{R}_0^{+}\).

\[ \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}, \qquad x \gt 0 \]

Eine Wurzel ist eine Potenz mit gebrochenem Exponenten — alle Potenzregeln gelten weiter. Die Schreibweise \(x^{1/n}\) ist nach Teilgebiet 1.2 nur für \(x \gt 0\) erklärt; die Wurzel mit ungeradem \(n\) reicht weiter, wie gleich zu sehen ist.

Definitionsmenge, wieder nach der Parität:

• \(n\) gerade: Der Radikand muss \(\geq 0\) sein. \(D = \mathbb{R}_0^{+}\), bei \(\sqrt[n]{x-u}\) also \(D = [u;\infty[\).
• \(n\) ungerade: keine Schranke, \(D = \mathbb{R}\) — es ist \(\sqrt[3]{-8} = -2\).

Verschoben nach demselben Schema wie in Kapitel 3:

\[ f(x) = a \cdot \sqrt[n]{x - u} + v \]

Bei geradem \(n\) beginnt die Kurve im Startpunkt \((u \mid v)\), und dort beginnt auch die Definitionsmenge. Bei ungeradem \(n\) gibt es keinen Startpunkt — die Kurve läuft nach links weiter.

Eine Abweichung, die du kennen musst: Themenseite 3.2b beschränkt der Einheitlichkeit halber alle Wurzelfunktionen auf \(D = \mathbb{R}_0^+\), auch die dritte. Hier nutzen wir, dass ungerade Wurzeln auch negative Radikanden haben: \(\sqrt[3]{-8} = -2\). In einer Prüfung sagt die Aufgabe, welche Lesart gilt — im Zweifel die Definitionsmenge dazuschreiben.

Ordinatenabschnitt ist der \(y\)-Wert bei \(x = 0\), also \(f(0)\) — sofern \(0\) überhaupt in \(D\) liegt.

Nullstelle: \(f(x) = 0\) nach der Wurzel auflösen, dann beide Seiten hoch \(n\). Bei geradem \(n\) muss der freigestellte Wurzelwert \(\geq 0\) sein — sonst gibt es keine Nullstelle.

Grössenvergleich für \(x \gt 0\):

\[ 0 \lt x \lt 1:\ \sqrt{x} \gt x \gt x^{2} \qquad x \gt 1:\ \sqrt{x} \lt x \lt x^{2} \]

Bei \(x = 1\) schneiden sich alle drei.