So arbeitest du
- ① Clip anschauen.
- ② Tüfteln: Aufgaben in der Animation lösen — sie zeigt ✓, wenn es stimmt.
- ③ Kontrollfragen: Der Clip hält an. Erst antworten.
- ④ Üben mit Rückmeldung, bis drei in Folge sitzen.
- ⑤ Aufgaben auf Papier, dann Lösung aufklappen und abhaken.
Kompetenzen nach Lehrplan
RLP-BM 2030, Grundlagenfach 3.2
- K1 den Graphen einer linearen Funktion als Gerade in der kartesischen Ebene darstellen auch ohne Hilfsmittel
- K2 die Koeffizienten der Funktionsgleichung geometrisch interpretieren (Steigung, Achsenabschnitt) auch ohne Hilfsmittel
- K3 die Funktionsgleichung einer Geraden aufstellen auch ohne Hilfsmittel
Nicht hier, sondern auf Themenseite 3.1 bzw. 2.3: der Schnittpunkt zweier Geraden und der Vergleich zweier Tarife.
Vorwissen
Einsetzen, eine lineare Gleichung lösen, Punkte im Koordinatensystem. Wenn das wackelt: Themenseite 3.1, Grundlagen der Funktionen.
Vortest · 10 P
-
0a(2 P)\(f(x) = -3x + 7\): Berechne \(f(-2)\) und \(f(0.5)\).
Lösung
\(f(-2) = -3 \cdot (-2) + 7 = 13\) und \(f(0.5) = -1.5 + 7 = 5.5\).
Falsch? Klammer um negative Zahlen. Themenseite 1.3, Klammern auflösen
-
0b(3 P)Löse: \(4x - 7 = 2x + 5\) · \(0.25x + 40 = 70\) · \(-2x + 8 = 0\).
Lösung
\(\mathbb{L} = \{6\}\) · \(\mathbb{L} = \{120\}\) · \(\mathbb{L} = \{4\}\).
-
0c(2 P)Welcher der Punkte \(A(0 \mid 3)\), \(B(3 \mid 0)\), \(C(-2 \mid -1)\) liegt auf der \(y\)-Achse, welcher auf der \(x\)-Achse?
Lösung
\(A\) liegt auf der \(y\)-Achse (erste Koordinate \(0\)), \(B\) auf der \(x\)-Achse (zweite Koordinate \(0\)). \(C\) liegt im dritten Quadranten.
-
0d(3 P)Ergänze die Wertetabelle zu \(y = 2x - 1\) für \(x = -1,\ 0,\ 1,\ 2\) und zeichne die vier Punkte.
Lösung
\(-3\), \(-1\), \(1\), \(3\) — also \((-1 \mid -3)\), \((0 \mid -1)\), \((1 \mid 1)\), \((2 \mid 3)\). Die vier Punkte liegen auf einer Geraden.
Falsch? Themenseite 3.1, Darstellungsformen und der Clip oben.
Weniger als 7 von 10 Punkten: zuerst die verlinkten Stellen zu den falschen Aufgaben, dann Kapitel 1. Ist 0b falsch, zuerst das Lösen linearer Gleichungen — ohne das geht Kapitel 4 nicht.
Die Gerade bewegen: \(m\) und \(b\)
Du liest aus \(f(x) = m \cdot x + b\) Steigung und Achsenabschnitt ab, zeichnest damit die Gerade — und liest umgekehrt die Gleichung aus dem Graphen.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
\[ f(x) = m \cdot x + b, \qquad m,\, b \in \mathbb{R} \]
\(b\) ist der \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = b\). Die Gerade schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0 \mid b)\); \(b\) schiebt sie nur senkrecht — plus hinauf, minus hinunter.
\(m\) ist die Steigung: ein Schritt nach rechts, \(m\) Schritte hinauf. \(m\) kippt die Gerade um den Punkt \((0 \mid b)\). \(m \gt 0\): steigt · \(m \lt 0\): fällt · \(m = 0\): waagrecht.
Punktprobe: Ob \(P(x_1 \mid y_1)\) auf dem Graphen liegt, entscheidet das Einsetzen: \(f(x_1)\) ausrechnen und mit \(y_1\) vergleichen.
Definitionsmenge: \(D = \mathbb{R}\), wenn nichts anderes dasteht. In Anwendungen schränkt der Sachverhalt sie ein (etwa \(t \geq 0\)) — dann gehört sie in die Antwort.
\(b\) ist nicht die Nullstelle. Bei \(f(x) = 2x - 6\) ist \(b = -6\) der \(y\)-Achsenabschnitt, die Gerade schneidet die \(y\)-Achse also in \((0 \mid -6)\); die Nullstelle liegt bei \(x_0 = 3\) auf der \(x\)-Achse.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 1 · 13 P
-
1a(4 P)Welcher Graph gehört zu welcher Funktion? (1) \(f(x) = 2x - 3\) (2) \(g(x) = -x + 2\) (3) \(h(x) = 0.5x\) (4) \(k(x) = -2x - 1\)
Lösung
(1) → C, (2) → A, (3) → B, (4) → D.
Am schnellsten über \(b\): A schneidet die \(y\)-Achse über dem Ursprung, B genau im Ursprung, C und D darunter. Zwischen C und D entscheidet die Richtung: C steigt, D fällt.
-
1b(3 P)Gleichung der Geraden? (Punkte auf Gitterpunkten)
Lösung
\(b = -1\); von \((0 \mid -1)\) zwei nach rechts und drei hinauf, also \(m = \dfrac{3}{2} = 1.5\): \(f(x) = 1.5x - 1\).
-
1c(2 P)Liegen \(P(4 \mid 5)\) und \(Q(-2 \mid -3)\) auf \(f(x) = 1.5x - 1\)?
Lösung
\(f(4) = 5\): \(P\) liegt darauf. \(f(-2) = -4 \neq -3\): \(Q\) nicht.
-
1d(2 P)Warum gehen alle Geraden \(f(x) = m \cdot x + 3\) — unabhängig von \(m\) — durch denselben Punkt?
Lösung
Bei \(x = 0\) fällt der ganze \(x\)-Teil weg: \(f(0) = 3\) für jedes \(m\). Alle gehen durch \((0 \mid 3)\); \(m\) kippt sie nur um diesen Punkt.
-
1e(2 P)Zeichne die Graphen von \(f(x) = 1.5x - 2\) und \(g(x) = -x - 1\) in ein Koordinatensystem (Bereich \(-4\) bis \(5\)). Vorgehen: \(b\) auf der \(y\)-Achse eintragen, dann mit einem Steigungsdreieck einen zweiten Punkt suchen.
Lösung
\(f\): \((0 \mid -2)\), dann zwei nach rechts und drei hinauf zu \((2 \mid 1)\).
\(g\): \((0 \mid -1)\), dann einen nach rechts und einen hinunter zu \((1 \mid -2)\).
Zwei Punkte genügen — die Gerade durch sie über das ganze Fenster ziehen.
Mehr dazu: Themenseite 3.2, Definition und Parameter
Die Steigung messen
Du bestimmst \(m\) aus einem Steigungsdreieck und aus zwei Punkten — und findest die Nullstelle.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
\[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \qquad x_0 = -\frac{b}{m} \quad (m \neq 0) \]
Jedes Steigungsdreieck derselben Geraden gibt dasselbe \(m\) — die Dreiecke sind ähnlich. Die Steigung ist ein Verhältnis, kein Abstand.
Gelesen wird von links nach rechts, also mit \(\Delta x \gt 0\). Vertauscht man die Punkte, drehen \(\Delta y\) und \(\Delta x\) beide das Vorzeichen — \(m\) bleibt gleich.
Die Nullstelle \(x_0\) ist die Stelle mit \(f(x_0) = 0\), also der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse. Man findet sie aus \(0 = m x_0 + b\). Bei \(m = 0\) gibt es keine (oder, bei \(b = 0\), unendlich viele).
Haben zwei Punkte dieselbe \(x\)-Koordinate, ist \(\Delta x = 0\): \(m\) ist nicht definiert, die Gerade steht senkrecht und ist keine Funktion.
Zähler und Nenner in derselben Reihenfolge abziehen. Für \(A(1 \mid 2)\) und \(B(5 \mid 10)\) ist \(m = \dfrac{10 - 2}{5 - 1} = 2\), nicht \(\dfrac{10 - 2}{1 - 5} = -2\).
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 2 · 12 P
-
2a(3 P)Steigung der Geraden durch (i) \(A(-4 \mid 5)\), \(B(2 \mid 2)\) · (ii) \(A(-1 \mid -4)\), \(B(3 \mid 4)\) · (iii) \(A(2 \mid 5)\), \(B(6 \mid 5)\)?
Lösung
(i) \(m = \dfrac{-3}{6} = -0.5\) · (ii) \(m = \dfrac{8}{4} = 2\) · (iii) \(m = \dfrac{0}{4} = 0\), eine waagrechte Gerade.
-
2b(3 P)Nullstellen von \(f(x) = 4x - 6\), \(g(x) = -2x + 8\) und \(h(x) = 0.5x + 3\).
Lösung
\(1.5\), \(4\) und \(-6\).
Je aus \(0 = m x_0 + b\), also \(x_0 = -\dfrac{b}{m}\).
-
2c(2 P)Lies \(m\), \(b\) und die Nullstelle ab. (Punkte auf Gitterpunkten)
Lösung
\(b = 3\), zwei nach rechts und drei hinunter: \(m = -1.5\). Nullstelle \(x_0 = 2\), also \(f(x) = -1.5x + 3\).
-
2d(2 P)Warum liefert jedes Steigungsdreieck derselben Geraden dasselbe \(m\)?
Lösung
Alle diese Dreiecke sind ähnlich: Wird \(\Delta x\) verdoppelt, verdoppelt sich \(\Delta y\) mit. Das Verhältnis \(\Delta y : \Delta x\) bleibt dadurch gleich.
-
2e(2 P)Zwei Punkte haben dieselbe \(x\)-Koordinate. Warum lässt sich keine Steigung angeben — und warum ist die Gerade durch sie keine Funktion?
Lösung
\(\Delta x = 0\), und durch null lässt sich nicht teilen: \(m\) ist nicht definiert. Die Gerade steht senkrecht; zu dieser einen Stelle gehören unendlich viele \(y\)-Werte, und eine Funktion ordnet jedem \(x\) genau einen zu.
Mehr dazu: Themenseite 3.2, Steigung, Achsenabschnitt, Nullstelle
Typen und Lagebeziehungen
Du erkennst an \(m\) und \(b\), ob eine Funktion proportional, konstant oder die Identität ist, unterscheidest sie von der senkrechten Geraden \(x = k\) — und entscheidest, ob zwei Geraden parallel oder senkrecht sind.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
| Typ | Gleichung | Bedingung | Graph |
|---|---|---|---|
| allgemeine lineare Funktion | \(f(x) = m x + b\) | \(m \neq 0\) | schiefe Gerade |
| proportionale Funktion | \(f(x) = m x\) | \(b = 0\) | Gerade durch den Ursprung |
| Identität | \(f(x) = x\) | \(m = 1,\ b = 0\) | Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten |
| konstante Funktion | \(f(x) = b\) | \(m = 0\) | waagrechte Gerade |
| senkrechte Gerade | \(x = k\) | kein \(m\) | keine Funktion — einem \(x\) sind unendlich viele \(y\) zugeordnet |
\(g: y = m_1 x + b_1\) und \(h: y = m_2 x + b_2\):
parallel: \(m_1 = m_2\) und \(b_1 \neq b_2\) · identisch: \(m_1 = m_2\) und \(b_1 = b_2\) · senkrecht: \(m_1 \cdot m_2 = -1\), also \(m_2 = -\tfrac{1}{m_1}\).
Warum \(-1\)? Dreht man das Steigungsdreieck um \(90^\circ\), tauschen \(\Delta x\) und \(\Delta y\) die Rolle und ein Vorzeichen kippt: aus \(\tfrac{2}{1}\) wird \(\tfrac{-1}{2}\).
Die Produktregel gilt nur, wenn beide Geraden eine Steigung haben. Eine waagrechte Gerade (\(m = 0\)) steht senkrecht auf einer senkrechten Geraden \(x = k\) — ein Produkt gibt es dort nicht.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 3 · 11 P
-
3a(4 P)Welcher Typ? (i) \(y = -0.5x\) · (ii) \(y = 4\) · (iii) \(x = -2\) · (iv) \(y = x\)
Lösung
(i) proportionale Funktion (\(b = 0\)) · (ii) konstante Funktion (\(m = 0\)) · (iii) senkrechte Gerade — keine Funktion · (iv) Identität (\(m = 1\), \(b = 0\); auch proportional).
-
3b(3 P)Gegeben \(g_1: y = 3x + 1\), \(g_2: y = -\tfrac{1}{3}x + 2\), \(g_3: y = 3x - 4\), \(g_4: y = \tfrac{1}{3}x\). Welche Paare sind parallel, welche senkrecht?
Lösung
Parallel: \(g_1 \parallel g_3\) (beide \(m = 3\)).
Senkrecht: \(g_1 \perp g_2\) und \(g_3 \perp g_2\), denn \(3 \cdot \left(-\tfrac{1}{3}\right) = -1\).
\(g_4\) steht zu keiner der anderen senkrecht: \(3 \cdot \tfrac{1}{3} = 1\) und \(-\tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{1}{3} = -\tfrac{1}{9}\) — beides ist nicht \(-1\).
-
3c(2 P)Liegen die beiden Geraden parallel, senkrecht oder keines von beidem?
Lösung
P: parallel (beide \(m = -1.5\)). Q: senkrecht, denn \(1 \cdot (-1) = -1\).
-
3d(2 P)Warum schneiden sich zwei Geraden mit gleichem \(m\) und verschiedenem \(b\) nie?
Lösung
Gleiches \(m\) heisst gleiche Richtung. Zu jeder Stelle \(x\) unterscheiden sich die beiden Werte um genau \(b_1 - b_2 \neq 0\) — dieser Abstand bleibt überall gleich und wird nie null.
Mehr dazu: Themenseite 3.2, Typen linearer Funktionen
Die Geradengleichung aufstellen
Du stellst die Gleichung auf — aus Steigung und Punkt, aus zwei Punkten, aus einer Lagebeziehung und aus einem Sachtext.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
| Gegeben | Ansatz | Dann |
|---|---|---|
| \(m\) und ein Punkt \(P(x_1 \mid y_1)\) | \(y = m x + b\) | \(P\) einsetzen: \(b = y_1 - m\,x_1\) |
| \(b\) und ein Punkt (\(x_1 \neq 0\)) | \(y = m x + b\) | \(P\) einsetzen, nach \(m\) auflösen |
| zwei Punkte (\(x_1 \neq x_2\)) | \(y = m x + b\) | erst \(m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\), dann \(b\) |
| parallel zu \(g\) durch \(P\) | \(m = m_g\) | dann wie oben: \(P\) einsetzen |
| senkrecht zu \(g\) durch \(P\) (\(m_g \neq 0\)) | \(m = -\dfrac{1}{m_g}\) | dann wie oben: \(P\) einsetzen |
| Sachtext | «pro …» \(\to m\) | «Grundgebühr», «zu Beginn» \(\to b\); Variablen mit Einheit benennen und den zulässigen Bereich angeben |
- Ansatz \(y = m x + b\) hinschreiben.
- Was gegeben ist, einsetzen — bei zwei Punkten zuerst \(m\).
- Nach der fehlenden Zahl auflösen.
- Probe: den gegebenen Punkt einsetzen.
Durch zwei verschiedene Punkte mit \(x_1 \neq x_2\) geht genau eine Gerade — zwei Punkte genügen also immer.
In \(b = y_1 - m\,x_1\) wird \(m\,x_1\) abgezogen. Für \(m = 3\) und \(P(4 \mid 2)\) ist \(b = 2 - 12 = -10\), nicht \(14\).
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 4 · 14 P
-
4a(3 P)Gleichung der Geraden mit (i) \(m = -3\) durch \(P(2 \mid 1)\) · (ii) \(b = 2\) durch \(P(4 \mid 10)\) · (iii) durch \(A(-1 \mid 5)\) und \(B(3 \mid -3)\).
Lösung
(i) \(1 = -3 \cdot 2 + b\), \(b = 7\): \(f(x) = -3x + 7\).
(ii) \(10 = m \cdot 4 + 2\), \(m = 2\): \(f(x) = 2x + 2\).
(iii) \(m = \dfrac{-3 - 5}{3 - (-1)} = -2\), dann \(5 = -2 \cdot (-1) + b\), \(b = 3\): \(f(x) = -2x + 3\).
-
4b(2 P)Eine Gerade hat die Nullstelle \(5\) und den \(y\)-Achsenabschnitt \(10\). Gleichung?
Lösung
Das sind zwei Punkte: \((5 \mid 0)\) und \((0 \mid 10)\). \(m = \dfrac{0 - 10}{5 - 0} = -2\), \(b = 10\): \(f(x) = -2x + 10\).
-
4c(3 P)(i) Parallel zu \(g(x) = 3x - 1\) durch \(P(2 \mid 10)\). (ii) Senkrecht zu \(h(x) = 2x + 1\) durch \(Q(4 \mid 3)\).
Lösung
(i) \(m = 3\), \(10 = 3 \cdot 2 + b\), \(b = 4\): \(f(x) = 3x + 4\).
(ii) \(m = -\dfrac{1}{2} = -0.5\), \(3 = -0.5 \cdot 4 + b\), \(b = 5\): \(f(x) = -0.5x + 5\).
-
4d(3 P)Ein Abo kostet 12 CHF im Monat, dazu 0.05 CHF je Minute. Stelle \(K(t)\) auf (\(t\) in Minuten, \(K\) in CHF), gib die Definitionsmenge an und rechne, bei welcher Minutenzahl 20 CHF erreicht sind.
Lösung
«je Minute» \(\to m = 0.05\), «im Monat» \(\to b = 12\): \(K(t) = 0.05\,t + 12\), zulässig \(t \geq 0\).
\(20 = 0.05\,t + 12\) gibt \(0.05\,t = 8\), also \(t = 160\) Minuten.
-
4e(3 P)Gleichung der Geraden im Bild (Punkte auf Gitterpunkten)? Und: Warum genügen zwei Punkte, um sie festzulegen?
Lösung
\(b = 2\); von \((-2 \mid 1)\) nach \((4 \mid 4)\) sind es sechs nach rechts und drei hinauf: \(m = \dfrac{3}{6} = 0.5\). Also \(f(x) = 0.5x + 2\).
Gesucht sind die zwei Zahlen \(m\) und \(b\). Zwei Unbekannte brauchen zwei Bedingungen — und geometrisch geht durch zwei verschiedene Punkte mit \(x_1 \neq x_2\) genau eine Gerade.
Gesamttest
⬇ Gesamttest (PDF)
⬇ Bewertungspaket (PDF)
| 19 – 22 P | Die geprüften Teile sitzen. Wo du Punkte verloren hast: das Kapitel dieser Aufgabe nochmals (Zuordnung unten). |
| 15 – 18 P | Den schwächsten Teil nochmals: Simulation und Übungen des Kapitels, in dem du die meisten Punkte verloren hast. |
| 10 – 14 P | Zurück zu den Kapiteln aller Aufgaben, in denen du Punkte verloren hast. |
| 0 – 9 P | Zurück zu Kapitel 1 und von dort der Reihe nach weiter. |
Aufgabe → Kapitel: G1 → 1 und 2 · G2 → 1 und 2 · G3 → 1 und 2 · G4 → 3 und 4 · G5 → 3 · G6, G7, G8 → 4