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Lineare und quadratische Gleichungen

Zuschauen, umformen, kontrollieren, üben. Fünf Kapitel zu je einer Lektion, dazu Vorwissen und Gesamttest.

Grundlagenfach 2.2

So arbeitest du
  1. ① Clip anschauen.
  2. ② Tüfteln: In Kapitel 1–4 wählst du im Umformer jeden Schritt selbst und gibst am Schluss die Lösungsmenge ein — er zeigt ✓, wenn sie stimmt. In Kapitel 5 ziehst du am Regler für den Parameter und löst die Aufgaben der Leiste.
  3. ③ Kontrollfragen: Der Clip hält an. Erst antworten.
  4. ④ Üben mit Rückmeldung, bis drei in Folge sitzen.
  5. ⑤ Aufgaben auf Papier, dann Lösung aufklappen und abhaken.

Kompetenzen

RLP-BM 2030, Grundlagenfach, Teilgebiet 2.2 — eine Kompetenz:

lineare und quadratische Gleichungen lösen, verschiedene Lösungsmethoden erklären und anwenden, inkl. Parameterdiskussion auch ohne Hilfsmittel

Hier in fünf Teile gegliedert:

  • K1 lineare Gleichungen lösen, mit Äquivalenzumformungen und Probe (dazu aus 2.1) — Kapitel 1
  • K2 quadratische Gleichungen mit Ausklammern und Nullprodukt lösen und das Verfahren erklären — Kapitel 2
  • K3 mit Wurzelziehen, quadratischer Ergänzung und Mitternachtsformel lösen — Kapitel 3
  • K4 Lösungsmethoden vergleichen und begründet wählen, den Typ bestimmen — Kapitel 4
  • K5 Parameterdiskussion — Kapitel 5

Parabeln dienen als Bild der Lösungen (Nullstellen) — die Funktionssicht «Gleichungen mithilfe von Funktionen visualisieren» gehört zu GF 3.1.

Nicht hier, sondern auf den Themenseiten 2.2a und 2.2b: Ungleichungen, Bruchgleichungen, Substitution. Gleichungssysteme: Teilgebiet 2.3.

Kapitel 0Vorwissen · GF 1.3 · 1.4 · 2.1≈ 10 min

Vorwissen

Terme umformen, ausklammern, die binomischen Formeln, Quadratwurzeln und die Probe. Wenn das wackelt: Teilgebiet 1.3, Algebraische Terme, 1.4, Quadratwurzeln und Teilgebiet 2.1, Grundlagen der Gleichungen.

Vortest · 12 P

  1. 0a(3 P)Vereinfache \(3(x - 2) - (2x - 5)\) und multipliziere \((x + 3)^2\) aus.
    Lösung

    \(3x - 6 - 2x + 5 = x - 1\); \(x^2 + 6x + 9\).

    Minus vor der Klammer und das mittlere Glied des Binoms braucht jedes Kapitel.

  2. 0b(2 P)Klammere so viel wie möglich aus: \(6x^2 - 9x\); \(x^2 + 4x\).
    Lösung

    \(3x\,(2x - 3)\); \(x\,(x + 4)\).

    Falsch? Genau das braucht Kapitel 2.

  3. 0c(3 P)Schreib als Produkt: \(x^2 - 10x + 25\); \(x^2 - 49\).
    Lösung

    \((x - 5)^2\); \((x - 7)(x + 7)\).

    Binomische Formeln rückwärts brauchen Kapitel 3 und 4.

  4. 0d(2 P)Berechne \(\sqrt{49}\) und \(\sqrt{\tfrac{9}{4}}\). Welche Zahlen haben das Quadrat \(16\)?
    Lösung

    \(7\); \(\tfrac{3}{2} = 1.5\); \(4\) und \(-4\).

  5. 0e(2 P)Ist \(x = 2\) eine Lösung von \(3x - 4 = x\)? Begründe mit der Probe.
    Lösung

    Ja: links \(6 - 4 = 2\), rechts \(2\).

    Die Probe gehört zu jeder Gleichung, die du löst.

Weniger als 8 von 12 Punkten: zuerst die verlinkten Teilgebiete, dann Kapitel 1.

Kapitel 1GF 2.2 · K1≈ 40 min

Lineare Gleichungen umformen

Du löst lineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen, machst die Probe und erkennst an \(a \cdot x = c\), ob es eine, keine oder unendlich viele Lösungen gibt.

① Clip

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Festhalten

Äquivalenzumformungen und die drei Lösungsfälle

Eine Äquivalenzumformung ändert die Lösungsmenge nicht: auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addieren oder subtrahieren, beide Seiten mit derselben Zahl \(\neq 0\) multiplizieren oder durch sie dividieren. Klammern auflösen und zusammenfassen sind Termumformungen — sie ändern nichts.

  1. Klammern auflösen, Brüche mit dem Hauptnenner beseitigen.
  2. Alle \(x\)-Glieder auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere.
  3. Zusammenfassen und durch den Faktor vor \(x\) dividieren.
  4. Probe in der ursprünglichen Gleichung.

Sortiert steht \(a \cdot x = c\) da. Dann entscheidet \(a\):

  • \(a \neq 0\): genau eine Lösung, \(\mathbb{L} = \{\tfrac{c}{a}\}\).
  • \(a = 0\), \(c \neq 0\): Es bleibt eine falsche Aussage wie \(6 = 9\) — \(\mathbb{L} = \{\,\}\).
  • \(a = 0\), \(c = 0\): Es bleibt eine wahre Aussage wie \(8 = 8\) — \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\).
Häufiger Fehler

Das Minus vor einer Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer: \(3 - (x - 1) = 3 - x + 1\).

Mit \(0\) multiplizieren oder durch einen Term mit \(x\) dividieren ist keine Äquivalenzumformung — es ändert die Lösungsmenge: Mal \(0\) macht jede Zahl zur Lösung (\(0 = 0\)), durch \(x\) teilen kann Lösungen verlieren.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Lineare Gleichung lösen0 in Folge

🔁 Welcher Lösungsfall?0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 1 · 15 P

  1. 1a(2 P)Löse \(7x - 4 = 3x + 12\) und mach die Probe.
    Lösung

    \(4x - 4 = 12\), \(4x = 16\), \(x = 4\). Probe: \(28 - 4 = 24\) und \(12 + 12 = 24\) ✓. \(\mathbb{L} = \{4\}\).

  2. 1b(3 P)Löse \(3(2x - 1) - 2(x + 4) = 1\).
    Lösung

    \(6x - 3 - 2x - 8 = 1\), also \(4x - 11 = 1\), \(4x = 12\), \(x = 3\). \(\mathbb{L} = \{3\}\).

    Das Minus vor \(2(x + 4)\) gilt für beide Glieder: \(-2x - 8\).

  3. 1c(3 P)Löse \(\dfrac{x + 1}{4} = \dfrac{x - 2}{2}\).
    Lösung

    Mal \(4\): \(x + 1 = 2(x - 2) = 2x - 4\). Dann \(5 = x\). Probe: \(\tfrac{6}{4} = 1.5 = \tfrac{3}{2}\) ✓. \(\mathbb{L} = \{5\}\).

  4. 1d(3 P)Welcher Lösungsfall liegt vor? (a) \(4(x - 1) = 4x - 4\) (b) \(2x + 5 = 2(x + 3)\)
    Lösung

    (a) \(4x - 4 = 4x - 4\), nach \(-4x\): \(-4 = -4\) wahr — \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\). (b) \(2x + 5 = 2x + 6\), nach \(-2x\): \(5 = 6\) falsch — \(\mathbb{L} = \{\,\}\).

  5. 1e(2 P)Warum ist «beidseitig mal \(0\)» keine Äquivalenzumformung?
    Lösung

    Danach steht \(0 = 0\) da — wahr für jedes \(x\). Aus einer Gleichung mit einer Lösung würde eine mit unendlich vielen: Die Lösungsmenge ändert sich. Umkehren lässt sich das nicht, denn durch \(0\) kann man nicht dividieren.

  6. 1f(2 P)Die Geraden \(y = 0.5x + 1\) und \(y = -x + 4\) sind abgebildet. Welche Gleichung löst ihr Schnittpunkt? Lies die Lösung ab und bestätige sie rechnerisch.
    Lösung

    \(0.5x + 1 = -x + 4\). Der Schnittpunkt liegt bei \(x = 2\). Rechnung: \(1.5x = 3\), \(x = 2\). Beide Seiten geben \(2\).

Mehr dazu: Themenseite 2.2a, Lösungsverfahren und drei Lösungsfälle

Kapitel 2GF 2.2 · K2≈ 40 min

Ausklammern und Nullprodukt

Du löst Gleichungen mit gemeinsamem Faktor durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt und erklärst, warum die Division durch eine Variable, die null werden kann, Lösungen verliert.

① Clip

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Festhalten

Ausklammern und Nullprodukt

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist: \(A \cdot B = 0 \iff A = 0 \;\text{oder}\; B = 0\).

  1. Auf null bringen — rechts muss \(0\) stehen.
  2. Ausklammern: aus der Summe ein Produkt machen.
  3. Jeden Faktor null setzen und lösen.
  4. Probe in der Ausgangsgleichung.

\[ x^2 = 5x \iff x^2 - 5x = 0 \iff x\,(x - 5) = 0 \iff x = 0 \;\text{oder}\; x = 5 \]

Fehlt die Zahl ohne \(x\) (\(ax^2 + bx = 0\)), ist \(x = 0\) immer eine Lösung. Eine getrennte Fallunterscheidung — erst \(x = 0\) prüfen, dann für \(x \neq 0\) teilen — ist ebenfalls richtig.

Häufiger Fehler

Durch \(x\) teilen: Aus \(x^2 = 4x\) wird \(x = 4\) — und \(x = 0\) fehlt. Teilen durch \(x\) setzt \(x \neq 0\) voraus.

Das Nullprodukt nur bei «\(= 0\)»: \(x(x - 5) = 6\) heisst nicht \(x = 6\) oder \(x - 5 = 6\).

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Ausklammern und lösen0 in Folge

🔁 Nullprodukt0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 2 · 14 P

  1. 2a(3 P)Löse \(3x^2 + 12x = 0\). Schreib die Faktorform auf und mach die Probe.
    Lösung

    \(3x\,(x + 4) = 0\), also \(x = 0\) oder \(x = -4\). \(\mathbb{L} = \{-4;\ 0\}\). Probe: \(0 + 0 = 0\); \(3 \cdot 16 - 48 = 0\) ✓.

  2. 2b(2 P)Löse \((x - 2)(x + 1) = 0\).
    Lösung

    \(x - 2 = 0\) oder \(x + 1 = 0\): \(\mathbb{L} = \{-1;\ 2\}\).

    Bei Faktoren der Form \((x - x_1)\) steht die Lösung \(x_1\) direkt in der Klammer — mit umgekehrtem Vorzeichen geschrieben.

  3. 2c(2 P)Jemand rechnet: «\((x - 2)(x - 3) = 6 \Rightarrow x - 2 = 6\) oder \(x - 3 = 6\), also \(x = 8\) oder \(x = 9\)». Was ist falsch? Mach die Probe und löse richtig: ausmultiplizieren, auf null bringen, ausklammern.
    Lösung

    Das Nullprodukt gilt nur, wenn rechts \(0\) steht. Probe: \(6 \cdot 5 = 30 \neq 6\) und \(7 \cdot 6 = 42 \neq 6\) — beide falsch. Richtig: \(x^2 - 5x + 6 = 6\), also \(x^2 - 5x = 0\), \(x\,(x - 5) = 0\), \(\mathbb{L} = \{0;\ 5\}\). Probe: \((-2)(-3) = 6\) ✓; \(3 \cdot 2 = 6\) ✓.

  4. 2d(3 P)Löse \((x - 1)^2 = 3(x - 1)\). Erkenne den gemeinsamen Faktor.
    Lösung

    \((x - 1)^2 - 3(x - 1) = 0\), \((x - 1)\,[(x - 1) - 3] = (x - 1)(x - 4) = 0\). \(\mathbb{L} = \{1;\ 4\}\).

    Wer durch \((x - 1)\) teilt, verliert \(x = 1\).

  5. 2e(2 P)Abgebildet ist \(y = x^2 + 2x\). Lies die Lösungen von \(x^2 + 2x = 0\) ab und bestätige sie mit dem Nullprodukt.
    Lösung

    Die Parabel schneidet die \(x\)-Achse bei \(-2\) und \(0\). Rechnung: \(x(x + 2) = 0\), \(\mathbb{L} = \{-2;\ 0\}\).

  6. 2f(2 P)Jemand rechnet: «\(x^2 = 4x\), beidseitig durch \(x\) teilen: \(x = 4\)». Welche Lösung fehlt? Erkläre, warum sie verloren ging, und löse richtig.
    Lösung

    Es fehlt \(x = 0\) (Probe: \(0 = 0\) ✓). Teilen durch \(x\) setzt \(x \neq 0\) voraus — der Fall \(x = 0\) fällt dabei stillschweigend weg. Richtig: \(x^2 - 4x = 0\), \(x\,(x - 4) = 0\), \(\mathbb{L} = \{0;\ 4\}\).

Mehr dazu: Themenseite 2.2b, Faktorisieren

Kapitel 3GF 2.2 · K3≈ 45 min

Wurzelziehen, Ergänzen, Mitternachtsformel

Du löst \(x^2 = r\) und \((x - u)^2 = r\) mit Wurzelziehen, ergänzt quadratisch, wendest die Mitternachtsformel an und liest an der Diskriminante ab, wie viele Lösungen es gibt.

① Clip

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Festhalten

Wurzelziehen, Ergänzen, Mitternachtsformel

Wurzelziehen: \(x^2 = r\) hat für \(r \gt 0\) die Lösungen \(x = \pm\sqrt{r}\), für \(r = 0\) nur \(x = 0\), für \(r \lt 0\) keine. Ebenso \((x - u)^2 = r \Rightarrow x - u = \pm\sqrt{r}\) für \(r \ge 0\).

Quadratische Ergänzung (Faktor \(1\) vor \(x^2\), sonst zuerst teilen): Bei \(x^2 + bx\) beidseitig \(\left(\tfrac{b}{2}\right)^2\) addieren — links entsteht ein Binom: \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\).

Mitternachtsformel (Lösungsformel), für \(ax^2 + bx + c = 0\) mit \(a \neq 0\):

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \qquad D = b^2 - 4ac \]

Woher sie kommt: Die quadratische Ergänzung, allgemein ausgeführt. Durch \(a\) teilen, \(\tfrac{c}{a}\) hinüberbringen und \(\left(\tfrac{b}{2a}\right)^2\) ergänzen gibt \(\left(x + \tfrac{b}{2a}\right)^2 = \tfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\); Wurzel ziehen und \(\tfrac{b}{2a}\) hinüberbringen liefert die Formel.

  • \(D \gt 0\): zwei Lösungen — die Parabel schneidet die \(x\)-Achse zweimal.
  • \(D = 0\): eine (doppelte) Lösung \(x = -\tfrac{b}{2a}\) — die Parabel berührt die \(x\)-Achse.
  • \(D \lt 0\): keine Lösung, \(\mathbb{L} = \{\,\}\).

Die Lösungen von \(ax^2 + bx + c = 0\) sind die Nullstellen der Parabel \(y = ax^2 + bx + c\) (Funktionssicht aus GF 3.1/3.3). Die Themenseite zeigt dazu auch die pq-Formel für \(x^2 + px + q = 0\).

Häufiger Fehler

Nur die positive Wurzel: Aus \(x^2 = 9\) folgt \(x = \pm 3\), denn auch \((-3)^2 = 9\).

Vorzeichen in \(D\): Bei \(c \lt 0\) wird \(-4ac\) positiv — \(3x^2 - 5x - 2\) hat \(D = 25 + 24\).

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Wurzel ziehen0 in Folge

🔁 Mitternachtsformel0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 3 · 16 P

  1. 3a(1 P)Löse \(x^2 = 0.49\).
    Lösung

    \(x = \pm 0.7\): \(\mathbb{L} = \{-0.7;\ 0.7\}\).

  2. 3b(3 P)Löse \(x^2 + 4x - 21 = 0\) mit quadratischer Ergänzung.
    Lösung

    \(x^2 + 4x = 21\), plus \(4\): \((x + 2)^2 = 25\), \(x + 2 = \pm 5\). \(\mathbb{L} = \{-7;\ 3\}\).

  3. 3c(3 P)Löse \(2x^2 - 7x + 3 = 0\) mit der Mitternachtsformel.
    Lösung

    \(D = 49 - 24 = 25\), \(x = \dfrac{7 \pm 5}{4}\): \(\mathbb{L} = \{0.5;\ 3\}\).

  4. 3d(3 P)Wie viele Lösungen? Entscheide mit \(D\), ohne zu lösen: (a) \(x^2 - 6x + 10 = 0\) (b) \(9x^2 + 6x + 1 = 0\) (c) \(x^2 + x - 1 = 0\)
    Lösung

    (a) \(D = 36 - 40 = -4\): keine. (b) \(D = 36 - 36 = 0\): eine. (c) \(D = 1 + 4 = 5\): zwei.

  5. 3g(2 P)Löse \(x^2 - 4x + 1 = 0\) exakt (ohne Taschenrechner).
    Lösung

    \(D = 16 - 4 = 12\), \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\), also \(x = \dfrac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\). \(\mathbb{L} = \{2 - \sqrt{3};\ 2 + \sqrt{3}\}\) (\(\approx 0.27\) und \(3.73\)).

    Nicht jede Lösung ist eine schöne Zahl: Die Wurzel bleibt stehen, wenn \(D\) keine Quadratzahl ist.

  6. 3e(2 P)Warum gehören zu \(x^2 = 16\) zwei Lösungen, zu \(x^2 = 0\) nur eine?
    Lösung

    \(4^2 = 16\) und \((-4)^2 = 16\): Zwei Zahlen haben das Quadrat \(16\). Das Quadrat \(0\) hat nur die Zahl \(0\), denn \(+0\) und \(-0\) sind dieselbe Zahl.

  7. 3f(2 P)Abgebildet ist \(y = x^2 - 4x + 3\). Berechne \(D\) und erkläre am Bild, warum das Vorzeichen passt.
    Lösung

    \(D = 16 - 12 = 4 \gt 0\): zwei Lösungen. Im Bild schneidet die Parabel die \(x\)-Achse zweimal, bei \(1\) und \(3\).

Mehr dazu: Themenseite 2.2b, Lösungsverfahren und Diskriminante

Kapitel 4GF 2.2 · K4≈ 40 min

Das passende Verfahren

Du bringst eine Gleichung auf null, bestimmst ihren Typ, wählst das passende Verfahren — Wurzelziehen, Ausklammern, Faktorisieren oder Mitternachtsformel —, begründest die Wahl und prüfst die Lösungen.

① Clip

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Festhalten

Das passende Verfahren

Zuerst umformen: Klammern auflösen und alles auf eine Seite. Erst jetzt zeigt sich der Typ — heben sich die \(x^2\) weg, ist die Gleichung linear.

  • Kein lineares Glied (\(b = 0\), \(ax^2 + c = 0\)): Wurzelziehen.
  • Keine Zahl ohne \(x\) (\(ax^2 + bx = 0\)): Ausklammern und Nullprodukt.
  • Zerlegung sichtbar: Faktorisieren — Binom \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\) oder Zweiklammersatz \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\) mit \(x_1 + x_2 = -p\) und \(x_1 \cdot x_2 = q\) (Satz von Vieta).
  • Sonst: Mitternachtsformel — sie geht immer, ist aber am aufwendigsten.

Zum Schluss die Probe in der Ausgangsgleichung.

Häufiger Fehler

Ein Verfahren anwenden, bevor rechts \(0\) steht: \(x(x + 3) = 10\) ist kein Nullprodukt.

Vorzeichen im Zweiklammersatz: Gesucht sind die Lösungen mit Summe \(-p\) und Produkt \(q\). \(x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2)\): Lösungen \(-5\) und \(2\), Summe \(-3 = -p\).

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Verfahren wählen0 in Folge

🔁 Zweiklammersatz0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 4 · 13 P

  1. 4a(4 P)Wähle jeweils das schnellste Verfahren und löse: (a) \(4x^2 - 1 = 0\) (b) \(3x^2 - 6x = 0\) (c) \(x^2 - x - 12 = 0\)
    Lösung

    (a) Wurzelziehen: \(x^2 = \tfrac{1}{4}\), \(\mathbb{L} = \{-0.5;\ 0.5\}\). (b) Ausklammern: \(3x(x - 2) = 0\), \(\mathbb{L} = \{0;\ 2\}\). (c) Zweiklammersatz: \((x - 4)(x + 3) = 0\), \(\mathbb{L} = \{-3;\ 4\}\).

  2. 4b(2 P)Bestimme den Typ und löse: \((2x - 1)^2 = 4x^2 + 3\).
    Lösung

    \(4x^2 - 4x + 1 = 4x^2 + 3\). Die \(4x^2\) heben sich weg: linear. \(-4x = 2\), \(x = -0.5\). \(\mathbb{L} = \{-0.5\}\).

  3. 4c(2 P)Warum funktioniert die Mitternachtsformel immer, der Zweiklammersatz aber nicht?
    Lösung

    Die Formel ist die quadratische Ergänzung, allgemein ausgeführt — sie braucht nur \(a \neq 0\). Der Zweiklammersatz braucht zwei Zahlen mit passender Summe und passendem Produkt, die man erraten kann; bei \(x^2 + x - 1 = 0\) mit den Lösungen \(\tfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\) gibt es keine solchen ganzen Zahlen.

  4. 4d(3 P)Löse \((x + 4)(x - 1) = 2x + 2\) und mach die Probe.
    Lösung

    \(x^2 + 3x - 4 = 2x + 2\), also \(x^2 + x - 6 = 0\), \((x + 3)(x - 2) = 0\). \(\mathbb{L} = \{-3;\ 2\}\). Probe: \(1 \cdot (-4) = -4 = -6 + 2\) ✓; \(6 \cdot 1 = 6 = 4 + 2\) ✓.

    Das Nullprodukt darf man erst anwenden, wenn rechts \(0\) steht.

  5. 4e(2 P)Abgebildet ist \(y = x^2 - x - 2\). Lies die Nullstellen ab und schreib die Gleichung \(x^2 - x - 2 = 0\) in Faktorform.
    Lösung

    Nullstellen \(-1\) und \(2\): \((x + 1)(x - 2) = 0\). Kontrolle: Summe \(-1 + 2 = 1 = -p\), Produkt \(-2 = q\).

Mehr dazu: Themenseite 2.2b, wann welches Verfahren und Faktorisieren

Kapitel 5GF 2.2 · K5≈ 40 min

Parameterdiskussion

Du bringst eine Gleichung mit Parameter auf die Form \(a(k) \cdot x = c(k)\) oder untersuchst \(D(k)\), bestimmst die kritischen Werte und gibst die Lösungsmenge für alle Fälle an — auch, wenn der Faktor vor \(x^2\) null wird.

① Clip

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Festhalten

Parameterdiskussion

Linear: auf die Form \(a(k) \cdot x = c(k)\) sortieren und den kritischen Wert suchen, bei dem \(a(k) = 0\) wird.

  • \(a(k) \neq 0\): genau eine Lösung \(x = \tfrac{c(k)}{a(k)}\).
  • \(a(k) = 0\) und \(c(k) \neq 0\): keine Lösung. \(a(k) = 0\) und \(c(k) = 0\): \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\).

\(k \cdot x + 6 = 2x + 3k \iff (k - 2)\,x = 3(k - 2)\): für \(k \neq 2\) ist \(x = 3\), für \(k = 2\) ist \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\).

Quadratisch: Die Diskriminante wird eine Funktion von \(k\). \(x^2 - 6x + k = 0\): \(D(k) = 36 - 4k\) — zwei Lösungen für \(k \lt 9\), eine (\(x = 3\)) für \(k = 9\), keine für \(k \gt 9\).

Parameter vor \(x^2\): zuerst den Fall untersuchen, in dem er null wird — dann ist die Gleichung linear (sofern der Faktor vor \(x\) nicht auch null ist), und \(D\) gilt nicht.

Mehrere kritische Werte: Ist \(a(k)\) selbst quadratisch, etwa \((k^2 - 4)\,x = k + 2\), wird es an zwei Stellen null (\(k = \pm 2\)) — jede einzeln einsetzen: \(k = 2\) gibt \(0 = 4\), \(k = -2\) gibt \(0 = 0\).

Häufiger Fehler

Durch \(a(k)\) teilen, ohne den Fall \(a(k) = 0\) zu prüfen.

Bei \(m x^2 - 4x - 3 = 0\) nur \(D(m) = 16 + 12m\) untersuchen: Für \(m = 0\) gibt es genau eine Lösung \(x = -\tfrac{3}{4}\), obwohl \(D \gt 0\) wäre.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Kritischer Wert (linear)0 in Folge

🔁 Genau eine Lösung0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 5 · 15 P

  1. 5a(3 P)Löse \(k x - 4 = 2x + k\) in Abhängigkeit von \(k\).
    Lösung

    \((k - 2)\,x = k + 4\). Für \(k \neq 2\): \(x = \dfrac{k + 4}{k - 2}\). Für \(k = 2\): \(0 = 6\), \(\mathbb{L} = \{\,\}\).

  2. 5b(3 P)Löse \((k^2 - 9)\,x = k - 3\) in Abhängigkeit von \(k\). Achtung: Es gibt zwei kritische Werte.
    Lösung

    \(k^2 - 9 = (k - 3)(k + 3) = 0\) bei \(k = 3\) und \(k = -3\). \(k = 3\): \(0 = 0\), \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\). \(k = -3\): \(0 = -6\), \(\mathbb{L} = \{\,\}\). Sonst: \(x = \dfrac{k - 3}{(k - 3)(k + 3)} = \dfrac{1}{k + 3}\).

  3. 5c(3 P)Für welche \(k\) hat \(x^2 + 8x + k = 0\) zwei, eine oder keine Lösung? Die drei Parabeln \(y = x^2 + 8x + k\) gehören zu \(k = 12\), \(16\) und \(20\) — ordne zu.
    Lösung

    \(D = 64 - 4k\): zwei für \(k \lt 16\), eine (\(x = -4\)) für \(k = 16\), keine für \(k \gt 16\). A: zwei Nullstellen, \(k = 12\); B: berührt, \(k = 16\); C: keine, \(k = 20\).

  4. 5d(4 P)Diskutiere \(m x^2 + 6x + 3 = 0\) vollständig — auch den Fall \(m = 0\).
    Lösung

    \(m = 0\): linear, \(6x + 3 = 0\), \(x = -0.5\). \(m \neq 0\): \(D = 36 - 12m\). \(m = 3\): eine Lösung \(x = -\tfrac{6}{6} = -1\). \(m \lt 3\), \(m \neq 0\): zwei. \(m \gt 3\): keine.

  5. 5e(2 P)Warum prüft man bei \(a(k) \cdot x = c(k)\) zuerst den Fall \(a(k) = 0\)?
    Lösung

    Für die Lösung \(x = \tfrac{c(k)}{a(k)}\) wird durch \(a(k)\) geteilt — das geht nur, wenn \(a(k) \neq 0\). Den Fall \(a(k) = 0\) muss man getrennt ansehen: Dort verschwindet \(x\), und es gibt keine oder unendlich viele Lösungen.

Mehr dazu: Themenseite 2.2a, Parameterdiskussion und 2.2b, Parameterdiskussion

AbschlussGF 2.2 · Kapitel 1–5≈ 30 min · 25 Punkte

Gesamttest

1
Lösen — auf Papier, mit Rechenweg, ohne Taschenrechner.
⬇ Gesamttest (PDF)
2
Bewerten lassen — Lösung scannen oder fotografieren (ohne Namen und Standort) und mit dem Bewertungspaket einer KI geben. Das Paket enthält die Musterlösung: erst danach öffnen.
⬇ Bewertungspaket (PDF)
3
Gezielt wiederholen — nach der Tabelle unten.
Selbsteinschätzung
22 – 25 PDie geprüften Teile sitzen. Wo du Punkte verloren hast: das Kapitel dieser Aufgabe nochmals (Zuordnung unten).
17 – 21 PDen schwächsten Teil nochmals: Tüfteln und Übungen des Kapitels, in dem du die meisten Punkte verloren hast.
11 – 16 PZurück zu den Kapiteln aller Aufgaben, in denen du Punkte verloren hast.
0 – 10 PZurück zu Kapitel 1 und von dort der Reihe nach weiter.

Aufgabe → Kapitel: G1 → 1; G2 → 1 und 5; G3 → 2; G4, G5 → 3; G6 → 4; G7, G8 → 5

Leitprogramm Lineare und quadratische Gleichungen · Clips von mathe.begreifbar.ch Raphael Arnold Kohler