So arbeitest du
- ① Clip anschauen: die Grundgleichung der Aufgabenart.
- ② Tüfteln: Aufgaben in der Simulation lösen — sie zeigt ✓, wenn es stimmt.
- ③ Kontrollfragen: Zwei Clips führen je zwei Aufgaben vom Text bis zur Antwort. Der Clip hält an jedem Schritt an — erst antworten. Den Taschenrechner bereitlegen.
- ④ Üben mit Rückmeldung, bis drei in Folge sitzen.
- ⑤ Aufgaben auf Papier, mit Deklaration und Ansatz, dann Lösung aufklappen und abhaken.
Kompetenzen nach Lehrplan
RLP-BM 2030, Grundlagenfach, Teilgebiete 2.1 Grundlagen und 2.3 Lineare Gleichungssysteme:
- K1 gegebene Sachverhalte im technischen Kontext als Gleichung, Ungleichung oder Gleichungssystem formulieren — Kapitel 1–4 (ohne Ungleichungen)
- K2 den Typ einer Gleichung bestimmen und beim Lösen entsprechend beachten, Lösungs- und Umformungsmethoden zielführend einsetzen sowie Lösungen überprüfen — Kapitel 0–4
- K3 ein lineares Gleichungssystem mit maximal drei Variablen lösen auch ohne Hilfsmittel — Kapitel 1–4, je die erste Aufgabe ohne Taschenrechner
Auf der Themenseite 2.M, nicht hier: Bruchrätsel, Systeme mit drei Unbekannten allgemein lösen, die technischen Sachverhalte A8–A11 und der Ansatz-Trainer. Ungleichungen: Themenseite 2.2a.
Vorwissen
Das Bilanzprinzip in vier Schritten, die vier Arten von Gleichungen mit ihrer Grundform und die zwei Löser des TI-30X Pro (MathPrint bzw. MultiView). Wenn das wackelt: Leitprogramm Lineare und quadratische Gleichungen (GF 2.2) und Themenseite 2.3 Lineare Gleichungssysteme.
Das Bilanzprinzip der Themenseite in vier Schritten: ① Unbekannte deklarieren — mit Bedeutung und Einheit; ② Gleichungen aufstellen — so viele unabhängige wie Unbekannte, jede eine Bilanz; ③ Lösen; ④ Probe am Text. In den Kontrollclips ist ③ geteilt: zuerst die Grundform, dann Lösen.
| Art | Grundform | Lösen |
|---|---|---|
| lineare Gleichung | \(a \cdot x = c\) mit \(a \neq 0\) | von Hand: \(x = c : a\) (oder num-solv) |
| quadratische Gleichung | \(a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0\) | poly-solv: \(a\), \(b\), \(c\) mit Vorzeichen |
| lineares Gleichungssystem | \(a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1\) \(a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2\) | sys-solv 2×2 — oder von Hand (Einsetzen, Addition) |
| quadratisches Gleichungssystem | eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen, einsetzen: quadratische Gleichung | poly-solv, dann die zweite Unbekannte |
«Grundform» heisst hier die geordnete Form, die der Rechner verlangt. Die Themenseite 2.2b nennt \(a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0\) die allgemeine Form, das Leitprogramm Lineare und quadratische Gleichungen \(a \cdot x = c\) die Zwischenform. Jede Art geht auch ganz von Hand.
poly-solv zeigt immer beide Lösungen der Gleichung — welche zum Text passen, entscheidest du. Es nennt sie \(x_1\) und \(x_2\), auch wenn die Unbekannte bei dir \(n\), \(r\) oder \(p\) heisst; sys-solv nennt die Unbekannten \(x\) und \(y\), auch wenn sie bei dir \(z\) und \(e\) heissen.
Das Minus einer negativen Zahl kommt mit der Vorzeichentaste (−). Brüche wie \(\tfrac{1}{50}\) schaltet die Umschalttaste in die Dezimalzahl um.
Vortest · 10 P
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0a(2 P)Für 18 CHF erhält man Äpfel zu 3.60 CHF pro kg. Deklariere die Unbekannte vollständig, stelle die Gleichung auf und löse sie.
Lösung
\(x\): Masse der Äpfel in kg. \(3.60 \cdot x = 18\), also \(x = 5\) kg.
Deklaration mit Grösse, Bezug und Einheit — Themenseite 2.M, Bilanzprinzip.
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0b(2 P)Welche Art ist es — lineare oder quadratische Gleichung, lineares oder quadratisches System? (a) \(3 \cdot (x - 2) = x + 4\) (b) \(x \cdot (x + 3) = 10\) (c) \(x + y = 5\) und \(2 \cdot x - y = 1\) (d) \(x + y = 5\) und \(x \cdot y = 6\)
Lösung
(a) linear. (b) quadratisch: ausmultipliziert \(x^2 + 3 \cdot x\). (c) lineares System. (d) quadratisches System: \(x \cdot y\) ist ein Produkt der Unbekannten.
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0c(2 P)Bring \((x - 3)^2 = 2 \cdot x + 1\) in die Grundform und gib \(a\), \(b\) und \(c\) an, wie du sie in poly-solv eintippst.
Lösung
\(x^2 - 6 \cdot x + 9 = 2 \cdot x + 1\), also \(x^2 - 8 \cdot x + 8 = 0\): \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = 8\).
Binom, auf null bringen, Vorzeichen — Leitprogramm Lineare und quadratische Gleichungen, Kapitel 4.
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0d(2 P)Ordne das System für sys-solv: \(y = 2 \cdot x - 3\) und \(3 \cdot x = 12 - 2 \cdot y\). Welche sechs Zahlen tippst du ein?
Lösung
\(2 \cdot x - y = 3\) und \(3 \cdot x + 2 \cdot y = 12\): Zeile 1: 2, −1, 3; Zeile 2: 3, 2, 12. Gleichwertig \(-2 \cdot x + y = -3\).
Jede Zeile: erst \(x\), dann \(y\), dann die Zahl — Clip «2×2 mit sys-solv lösen».
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0e(2 P)Löse von Hand (ohne Taschenrechner): \(x + y = 9\) und \(3 \cdot x + y = 21\).
Lösung
Subtrahieren: \(2 \cdot x = 12\), \(x = 6\), \(y = 3\). \(\mathbb{L} = \{(6 \mid 3)\}\).
Themenseite 2.3, Verfahren — RLP 2.3 verlangt das auch ohne Hilfsmittel.
Weniger als 7 von 10 Punkten: zuerst die verlinkten Stellen zu den falschen Aufgaben, dann Kapitel 1.
Zahlen- und Ziffernrätsel
Du übersetzt die Aussagen eines Zahlenrätsels in Gleichungen — mit dem Stellenwert \(10 \cdot z + e\) —, erkennst, ob eine lineare oder quadratische Gleichung oder ein System entsteht, bringst sie in die Grundform für den Rechner und prüfst jede Lösung am Text.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Bei Zahlen- und Ziffernrätseln gilt: je eine Gleichung pro Aussage des Textes.
- Zweistellige Zahl: \(z\): Zehnerziffer, \(e\): Einerziffer, mit \(z \in \{1;\ 2;\ \ldots;\ 9\}\) und \(e \in \{0;\ 1;\ \ldots;\ 9\}\). Die Zahl ist \(10 \cdot z + e\), vertauscht \(10 \cdot e + z\), die Quersumme \(z + e\).
- Aufeinanderfolgende natürliche Zahlen: \(n\), \(n + 1\), \(n + 2\) — eine Unbekannte genügt.
- Übersetzen: «um 3 grösser als \(a\)» ist \(a + 3\), «3-mal so gross wie \(a\)» ist \(3 \cdot a\).
Gleichungsart erkennen: Stehen die Unbekannten nur in Summen und Vielfachen, ist es linear — eine Gleichung löst du von Hand (oder mit num-solv), ein System mit sys-solv oder von Hand. Bleibt nach dem Ausmultiplizieren ein Quadrat oder ein Produkt der Unbekannten (\(z \cdot e\)) stehen, ist es quadratisch: einsetzen, in die Grundform \(a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0\) bringen, poly-solv. (In \((n + 1)^2 - n^2 = 15\) fällt das Quadrat weg: linear.)
Probe am Text, und Lösungen verwerfen, die keine Ziffer oder keine natürliche Zahl sind. Beispiel aus dem Clip: Quersumme 9, Produkt der Ziffern 14 gibt \(z^2 - 9 \cdot z + 14 = 0\) — zwei Zahlen, 72 und 27.
«um 3 grösser» und «3-mal so gross» verwechseln — und die Richtung: Die 3 kommt zur kleineren Grösse. Kontrolle mit einer Zahl.
Die Zahl als \(z \cdot e\) schreiben: Das ist das Produkt der Ziffern. Die Zahl ist \(10 \cdot z + e\).
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 1 · 10 P
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1a(3 P)Die Einerziffer einer zweistelligen Zahl ist um 1 grösser als das Doppelte der Zehnerziffer. Vertauscht man die Ziffern, wird die Zahl um 45 grösser. Deklariere, stelle das System auf und löse es von Hand (ohne Taschenrechner).
Lösung
\(z\): Zehnerziffer, \(e\): Einerziffer. \(e = 2 \cdot z + 1\) und \(10 \cdot e + z = 10 \cdot z + e + 45\), also \(9 \cdot e - 9 \cdot z = 45\) und \(e - z = 5\). Einsetzen: \(2 \cdot z + 1 - z = 5\), \(z = 4\), \(e = 9\). Die Zahl heisst 49. Probe am Text: \(9 = 2 \cdot 4 + 1\) ✓; \(94 - 49 = 45\) ✓.
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1b(2 P)Schreib mit \(z\) (Zehnerziffer) und \(e\) (Einerziffer) als Gleichung: (a) Die Zahl ist um 18 grösser als die Zahl mit vertauschten Ziffern. (b) Das Produkt der Ziffern ist um 2 kleiner als die Zahl selbst. (c) Die Einerziffer ist halb so gross wie die Zehnerziffer. Welche der drei Gleichungen macht ein System quadratisch?
Lösung
(a) \(10 \cdot z + e = 10 \cdot e + z + 18\). (b) \(z \cdot e = 10 \cdot z + e - 2\). (c) \(e = \tfrac{z}{2}\), gleichwertig \(z = 2 \cdot e\). Quadratisch macht (b): Dort werden die Unbekannten multipliziert.
Kontrolle mit einer Zahl: Bei 31 ist (a) erfüllt, \(31 - 13 = 18\).
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1c(3 P)Das Produkt zweier aufeinanderfolgender gerader Zahlen ist 168. Welche Zahlen können es sein? Bring die Gleichung in die Grundform und löse sie mit dem Taschenrechner.
Lösung
\(n\): kleinere der beiden Zahlen, die grössere ist \(n + 2\). \(n \cdot (n + 2) = 168\), Grundform \(n^2 + 2 \cdot n - 168 = 0\); poly-solv: \(x_1 = 12\), \(x_2 = -14\). Beide sind gerade Zahlen: 12 und 14 oder −14 und −12. Probe: \(12 \cdot 14 = 168\) ✓, \((-14) \cdot (-12) = 168\) ✓.
Hiesse es «natürliche Zahlen», fiele \(-14\) weg. Was verworfen wird, entscheidet der Text.
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1d(2 P)(a) Welche Zahl zeigt das Bild? Gib die Zahl mit vertauschten Ziffern und die Differenz der beiden an. (b) Warum ist diese Differenz bei jeder zweistelligen Zahl ein Vielfaches von 9?
Lösung
(a) 3 Zehnerstangen und 6 Einer: 36. Vertauscht 63, Differenz \(63 - 36 = 27\). (b) \((10 \cdot e + z) - (10 \cdot z + e) = 9 \cdot e - 9 \cdot z = 9 \cdot (e - z)\) — immer 9 mal eine ganze Zahl.
Mehr dazu: Themenseite 2.M, Typ 1 — Zahlen- und Ziffernrätsel (dort auch Bruchrätsel)
Mischen
Du deklarierst bei Mischaufgaben die Mengen, stellst Mengenbilanz und Stoffbilanz auf — Anteil mal Menge, Anteile als Dezimalzahl —, verdünnst mit Wasser als Sorte mit Anteil 0, dampfst ein, indem Wasser verdunstet, und erkennst, wann ein Produkt zweier Unbekannter die Aufgabe quadratisch macht.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
\(x\): Menge der Sorte 1, \(y\): Menge der Sorte 2 — in kg oder l, je nach Text.
\[ \begin{cases} x + y = M & \text{(Mengenbilanz)} \\ p_1 \cdot x + p_2 \cdot y = p \cdot M & \text{(Stoffbilanz)} \end{cases} \]
- \(p_1\), \(p_2\) sind die Anteile der Sorten, \(p\) der Anteil der Mischung, \(M\) die Gesamtmenge. Anteile als Dezimalzahl: 3.8 % wird zu \(0.038\). Stoff = Anteil mal Menge.
- Beim Mischen von Preisen ist \(p\) der Preis pro kg, die zweite Gleichung eine Wertbilanz in CHF.
- Verdünnen: Wasser ist eine Sorte mit dem Anteil \(0\). Mit einer Unbekannten entsteht eine lineare Gleichung. Eindampfen: Verdunstet Wasser, bleibt der Stoff, die Masse wird kleiner: \(p_1 \cdot V = p_2 \cdot (V - w)\).
- Prozentpunkte: Sinkt ein Anteil von 30 % um 10 Prozentpunkte, sind es 20 % — als Dezimalzahl \(p - 0.1\). (Um 10 Prozent gesunken wären es 27 %.)
- Für sys-solv darf die Stoffbilanz mit 100 multipliziert werden: ganze Zahlen tippen sich sicherer.
- Quadratisch wird es, wenn Menge und Anteil beide unbekannt sind (\(m \cdot p\)) oder wenn zweimal Gemisch entnommen und ersetzt wird.
Beispiel aus dem Clip: 20 % und 50 % Zucker zu 30 kg mit 30 %: \(x + y = 30\), \(0.2 \cdot x + 0.5 \cdot y = 9\); \(x = 20\), \(y = 10\).
Prozent und Menge in derselben Gleichung: In \(0.2 \cdot x + 0.5 \cdot y = 0.3\) steht links eine Masse, rechts ein Anteil. Die Anteile der Sorten addieren sich nicht zum Anteil der Mischung — addiert werden die Stoffmengen.
Kontrollfrage für jede Gleichung: Welche Einheit steht links, welche rechts? Es muss dieselbe sein.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 2 · 10 P
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2a(3 P)Ein Teeladen mischt Tee zu 40 CHF pro kg mit Tee zu 64 CHF pro kg zu 6 kg einer Mischung zu 48 CHF pro kg. Deklariere, stelle das System auf und löse es von Hand (ohne Taschenrechner).
Lösung
\(x\): Masse Tee zu 40 CHF in kg, \(y\): Masse Tee zu 64 CHF in kg. \(x + y = 6\) und \(40 \cdot x + 64 \cdot y = 48 \cdot 6 = 288\). Mit \(x = 6 - y\): \(240 + 24 \cdot y = 288\), \(y = 2\), \(x = 4\). 4 kg zu 40 CHF und 2 kg zu 64 CHF. Probe am Text: \(160 + 128 = 288\) CHF, und \(288 : 6 = 48\) CHF pro kg ✓.
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2b(2 P)Für «Milch mit 3.5 % Fett und Rahm mit 35 % Fett ergeben 70 kg mit 8 % Fett» schreibt jemand \(x + y = 70\) und \(0.035 \cdot x + 0.35 \cdot y = 8\). Was ist falsch? Korrigiere und löse mit dem Taschenrechner.
Lösung
Rechts steht ein Prozentwert, links eine Fettmasse in kg. Richtig ist die Fettmasse der Mischung: \(0.08 \cdot 70 = 5.6\). sys-solv mit \(x + y = 70\) und \(0.035 \cdot x + 0.35 \cdot y = 5.6\): \(x = 60\) kg Milch, \(y = 10\) kg Rahm. Probe: \(2.1 + 3.5 = 5.6\) kg Fett ✓.
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2c(3 P)Ein Behälter enthält 50 l reines Frostschutzmittel. Man lässt eine Menge ab, füllt mit Wasser auf und mischt gut. Dann lässt man doppelt so viel ab wie beim ersten Mal und füllt wieder mit Wasser auf. Jetzt enthält er noch 24 l Frostschutzmittel. Wie viel wurde beim ersten Mal abgelassen? (Taschenrechner)
Lösung
\(x\): beim ersten Mal abgelassene Menge in l, beim zweiten Mal \(2 \cdot x\); \(0 \lt 2 \cdot x \lt 50\). Nach dem ersten Mal \(50 - x\) l Mittel, Anteil \(\tfrac{50 - x}{50}\). Beim zweiten Mal gehen \(2 \cdot x \cdot \tfrac{50 - x}{50}\) l Mittel weg; übrig bleibt \((50 - x) \cdot \tfrac{50 - 2 \cdot x}{50} = 24\). Mal 50: \((50 - x) \cdot (50 - 2 \cdot x) = 1200\), Grundform \(2 \cdot x^2 - 150 \cdot x + 1300 = 0\) (oder durch 2: \(x^2 - 75 \cdot x + 650 = 0\)); poly-solv: \(x_1 = 65\), \(x_2 = 10\). 65 l sind mehr, als im Behälter ist: beim ersten Mal 10 l, beim zweiten Mal 20 l. Probe am Text: 40 l Mittel in 50 l, also 80 %; mit 20 l Gemisch gehen 16 l Mittel weg, es bleiben 24 l ✓.
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2d(2 P)(a) Lies im Bild die Stoffmengen ab und berechne den Anteil der Mischung. (b) Warum ist der Anteil nicht der Mittelwert \((20\,\% + 60\,\%) : 2 = 40\,\%\)?
Lösung
(a) \(0.2 \cdot 30 = 6\) kg und \(0.6 \cdot 10 = 6\) kg, zusammen 12 kg Stoff in 40 kg: \(12 : 40 = 0.3\), also 30 %. (b) Es ist dreimal so viel von der 20-%-Sorte dabei. Der Anteil der Mischung liegt darum näher bei 20 %: Gemittelt wird mit den Mengen, nicht mit den Prozenten allein.
Mehr dazu: Themenseite 2.M, Typ 2 — Mischen
Verteilen
Du stellst bei Verteilaufgaben Stückbilanz und Wertbilanz auf — Anzahl mal Wert pro Stück —, zählst Sets in jeder Stückbilanz ihrer Artikel, prüfst, ob Stückzahlen ganz und nicht negativ sind, und erkennst, wann Anzahl und Wert pro Stück beide unbekannt sind: Dann wird es quadratisch.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
\(x\), \(y\): Stückzahlen der Sorten bzw. Anzahl Fahrten — ganze Zahlen, nicht negativ.
\[ \begin{cases} x + y = N & \text{(Stückbilanz)} \\ a \cdot x + b \cdot y = W & \text{(Wertbilanz)} \end{cases} \]
- \(a\), \(b\) sind die Werte pro Stück (CHF, t, Sitzplätze), \(W\) ist der Gesamtwert: Anzahl mal Wert pro Stück. Im Rechteckmodell ist die Stückbilanz die Breite, die Wertbilanz die Fläche.
- Gibt es mehrere Artikel, deren Gesamtzahl bekannt ist, entsteht pro Artikel eine eigene Stückbilanz; ein Set zählt in jeder.
- Mit einer Unbekannten steht der Rest als Term: \(N - x\).
- Quadratisch wird es, wenn Anzahl und Wert pro Stück beide unbekannt sind: \(r \cdot (r + 6)\) Stühle, \(x \cdot y\) Franken.
Beispiel aus dem Clip: 12 Fahrten zu 18 t und 14 t, zusammen 188 t: \(x + y = 12\), \(18 \cdot x + 14 \cdot y = 188\); \(x = 5\), \(y = 7\).
Ein Set nur einmal zählen: Ein Set «Stöcke + Brille» gehört in die Stückbilanz der Stöcke und in die der Brillen.
Ein Ergebnis wie \(x = 5.5\) Fahrten übernehmen: Stückzahlen sind ganz. Die Probe am Text entscheidet, ob es überhaupt geht.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 3 · 10 P
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3a(3 P)Ein Kino verkauft an einem Abend 150 Billette, für Erwachsene zu 17 CHF und für Kinder zu 11 CHF. Die Einnahmen betragen 2190 CHF. Deklariere, stelle das System auf und löse es von Hand (ohne Taschenrechner).
Lösung
\(x\): Anzahl Erwachsenenbillette, \(y\): Anzahl Kinderbillette. \(x + y = 150\) und \(17 \cdot x + 11 \cdot y = 2190\). Mit \(y = 150 - x\): \(6 \cdot x + 1650 = 2190\), \(x = 90\), \(y = 60\). 90 Erwachsenen- und 60 Kinderbillette. Probe am Text: \(1530 + 660 = 2190\) CHF ✓.
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3b(2 P)Ein Laden verkauft Kappen zu 25 CHF, Schals zu 30 CHF und das Set «Kappe + Schal» zu 45 CHF. An einem Tag gehen 20 Kappen und 14 Schals weg — einzeln oder im Set — für zusammen 820 CHF. Deklariere und stelle das System auf. Nicht lösen.
Lösung
\(x\): einzeln verkaufte Kappen, \(y\): einzeln verkaufte Schals, \(z\): verkaufte Sets. \(x + z = 20\) (Kappen), \(y + z = 14\) (Schals), \(25 \cdot x + 30 \cdot y + 45 \cdot z = 820\) (CHF).
Zur Kontrolle, wenn du es lösen willst: Aus den Stückbilanzen \(x = 20 - z\) und \(y = 14 - z\) — eingesetzt bleibt eine Gleichung mit \(z\): \(25 \cdot (20 - z) + 30 \cdot (14 - z) + 45 \cdot z = 820\), zusammengefasst \(920 - 10 \cdot z = 820\). Also \(z = 10\), \(x = 10\) und \(y = 4\). Mehr zu Systemen mit drei Unbekannten: Themenseite 2.3.
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3c(3 P)In einem Saal stehen 120 Stühle in gleich langen Reihen. Für eine Feier räumt man 3 Reihen weg und nimmt aus jeder übrigen Reihe 2 Stühle heraus. Jetzt stehen noch 70 Stühle. Wie viele Reihen waren es, und wie viele Stühle standen in jeder? (Taschenrechner)
Lösung
\(r\): Anzahl Reihen, \(s\): Stühle pro Reihe — ganze Zahlen, nicht negativ. \(r \cdot s = 120\) und \((r - 3) \cdot (s - 2) = 70\). Ausmultipliziert und \(r \cdot s = 120\) benutzt: \(120 - 2 \cdot r - 3 \cdot s + 6 = 70\), also \(s = \tfrac{56 - 2 \cdot r}{3}\). Eingesetzt und mit 3 multipliziert: \(2 \cdot r^2 - 56 \cdot r + 360 = 0\); poly-solv: \(r_1 = 18\), \(r_2 = 10\) (der Rechner nennt sie \(x_1\), \(x_2\)). Bei 18 Reihen wären es \(\tfrac{120}{18} = 6.\overline{6}\) Stühle pro Reihe — keine ganze Zahl, fällt weg. 10 Reihen zu 12 Stühlen. Probe am Text: \(10 \cdot 12 = 120\) ✓, \(7 \cdot 10 = 70\) ✓.
Hier sind beide Lösungen positiv. Erst die zweite Unbekannte zeigt, welche Lösung zum Text passt.
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3d(2 P)(a) Lies im Rechteckmodell ab: Wie viele Stück sind es, und wie gross ist der Gesamtwert? (b) Warum ist mit 12 Stück zu 18 CHF und 7 CHF ein Gesamtwert von genau 100 CHF unmöglich?
Lösung
(a) \(4 + 8 = 12\) Stück; Wert \(18 \cdot 4 + 7 \cdot 8 = 72 + 56 = 128\) CHF. (b) \(18 \cdot x + 7 \cdot (12 - x) = 100\) gibt \(11 \cdot x = 16\), also \(x = \tfrac{16}{11}\) — keine ganze Zahl. Bruchteile von Stücken gibt es nicht.
Mehr dazu: Themenseite 2.M, Typ 3 — Verteilen
Zins
Du stellst Kapitalgleichung und Zinsgleichung auf — Zinssatz als Dezimalzahl, Zeit in Jahren —, rechnest mit Zinseszins über zwei Jahre (Faktor \(1 + p\) pro Jahr) und löst die entstehenden linearen und quadratischen Gleichungen und Systeme, wo nötig mit dem Rechner.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
\(x\): Kapital auf Anlage 1 in CHF, \(y\): Kapital auf Anlage 2 in CHF.
\[ \begin{cases} x + y = K & \text{(Kapitalgleichung)} \\ p_1 \cdot t_1 \cdot x + p_2 \cdot t_2 \cdot y = Z & \text{(Zinsgleichung)} \end{cases} \]
- Zinssätze als Dezimalzahl: 2 % wird zu \(0.02\). Zeitanteil \(t\) in Jahren: Halbjahr \(t = \tfrac{1}{2}\), vier Monate \(t = \tfrac{1}{3}\). Einfacher Zins: Zins \(= p \cdot t \cdot\) Kapital.
- Zinseszins (Themenseite, A7): Wird der Zins gutgeschrieben und mitverzinst, wächst ein Kapital pro Jahr mit dem Faktor \(1 + p\): nach zwei Jahren \(K \cdot (1 + p)^2\).
- Einfacher Zins über zwei Jahre (Zins nicht mitverzinst): \(K \cdot (1 + 2 \cdot p)\). Zinseszins: \(K \cdot (1 + p)^2\).
- Quadratisch wird es, wenn bei Zinseszins \(p\) gesucht ist oder wenn Kapital und Zinssatz beide unbekannt sind (\(K \cdot p\)). Bei ganzzahligen Koeffizienten zeigt poly-solv eine Lösung wie \(\tfrac{1}{50}\) als Bruch; die Umschalttaste ↔ zeigt die Dezimalzahl. Steht in der Grundform eine Dezimalzahl, multiplizierst du die Gleichung vorher, bis alle Koeffizienten ganz sind.
Beispiel aus dem Clip: 30 000 CHF zu 0.75 % und 2 %, 425 CHF Zins: \(x + y = 30\,000\), \(0.0075 \cdot x + 0.02 \cdot y = 425\); \(x = 14\,000\), \(y = 16\,000\).
Den Zinssatz in Prozent stehen lassen: \(0.75 \cdot x + 2 \cdot y = 425\) rechnet mit 75 % und 200 %.
Den Zeitanteil vergessen: Ein Halbjahr zum vollen Jahressatz gibt den doppelten Zins.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 4 · 10 P
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4a(3 P)Frau Rossi legt 16 000 CHF an: einen Teil zu 1.5 %, den Rest zu 2.5 %. Nach einem Jahr erhält sie 300 CHF Zins. Deklariere, stelle das System auf und löse es von Hand (ohne Taschenrechner).
Lösung
\(x\): Kapital zu 1.5 % in CHF, \(y\): Kapital zu 2.5 % in CHF. \(x + y = 16\,000\) und \(0.015 \cdot x + 0.025 \cdot y = 300\). Mit \(x = 16\,000 - y\): \(240 + 0.01 \cdot y = 300\), \(y = 6000\), \(x = 10\,000\). 10 000 CHF zu 1.5 %, 6000 CHF zu 2.5 %. Probe: \(150 + 150 = 300\) CHF ✓.
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4b(2 P)Welcher Faktor steht in der Zinsgleichung vor dem Kapital? (a) 1.8 %, 8 Monate (b) 0.9 %, ein Vierteljahr (c) 2.4 %, 5 Monate
Lösung
(a) \(0.018 \cdot \tfrac{8}{12} = 0.012\). (b) \(0.009 \cdot \tfrac{1}{4} = 0.00225\). (c) \(0.024 \cdot \tfrac{5}{12} = 0.01\).
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4c(3 P)10 000 CHF liegen zwei Jahre auf einem Konto; der Zins wird mitverzinst. Im zweiten Jahr ist der Zinssatz um 0.5 Prozentpunkte höher als im ersten. Nach zwei Jahren sind es 10 353 CHF. Bestimme den Zinssatz des ersten Jahres: Gleichung, Grundform, poly-solv, Antwort.
Lösung
\(p\): Zinssatz im ersten Jahr als Dezimalzahl, im zweiten Jahr \(p + 0.005\). \(10\,000 \cdot (1 + p) \cdot (1.005 + p) = 10\,353\). Ausmultipliziert: \(10\,000 \cdot p^2 + 20\,050 \cdot p + 10\,050 = 10\,353\), Grundform \(10\,000 \cdot p^2 + 20\,050 \cdot p - 303 = 0\); poly-solv: \(x_1 = \tfrac{3}{200} = 0.015\), \(x_2 = -\tfrac{101}{50} = -2.02\) (unter −100 %, verworfen). 1.5 % im ersten, 2 % im zweiten Jahr. Probe am Text: \(10\,000 \cdot 1.015 = 10\,150\) und \(10\,150 \cdot 1.02 = 10\,353\) ✓.
Hier hilft Wurzelziehen nicht: Die zwei Jahre haben verschiedene Faktoren.
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4d(2 P)(a) Lies im Bild die beiden Kapitalien und ihre Zinssätze ab und berechne den Zins nach einem Jahr. (b) Warum ist der Zins nicht \(20\,000 \cdot 1.75\,\% = 350\) CHF, obwohl 1.75 % der Mittelwert der Zinssätze ist?
Lösung
(a) 12 000 CHF zu 1 % und 8000 CHF zu 2.5 %: \(120 + 200 = 320\) CHF. (b) Mehr Geld liegt zum tieferen Zinssatz. Der mittlere Zinssatz gälte nur, wenn beide Kapitalien gleich gross wären.
Mehr dazu: Themenseite 2.M, Typ 4 — Zins und Aufgabe A7 (Zinseszins)
Gesamttest
⬇ Gesamttest (PDF)
⬇ Bewertungspaket (PDF)
| 22 – 25 P | Die geprüften Aufgabenarten sitzen. Wo du Punkte verloren hast: das Kapitel dieser Aufgabe nochmals (Zuordnung unten). |
| 17 – 21 P | Den schwächsten Teil nochmals: Tüfteln, Kontrollclips und Übungen des Kapitels, in dem du die meisten Punkte verloren hast. |
| 11 – 16 P | Zurück zu den Kapiteln aller Aufgaben, in denen du Punkte verloren hast — zuerst die Kontrollclips. |
| 0 – 10 P | Zurück zu Kapitel 0 und von dort der Reihe nach weiter. |
Aufgabe → Kapitel: G1 → 1; G2 → 3; G3 → 3; G4 → 2; G5 → 2; G6 → 4; G7 → 4
Weiter
Zum Nachschlagen: Themenseite 2.M Textaufgaben modellieren — mit dem Ansatz-Trainer, Bruchrätseln, einem System mit drei Unbekannten und technischen Sachverhalten (Widerstände, Träger, Linse, Mischtemperatur). Im Grundlagenfach geht es weiter mit den Funktionen; das Leitprogramm Lineare Funktionen (GF 3.2) beginnt dort.