So arbeitest du
- ① Clip anschauen.
- ② Tüfteln: Im Arbeitsbereich veränderst du die Figur, tippst Linien an und gibst Ergebnisse ein — er zeigt ✓, wenn es stimmt.
- ③ Kontrollfragen: Der Clip hält an. Erst antworten.
- ④ Üben mit Rückmeldung, bis drei in Folge sitzen.
- ⑤ Aufgaben auf Papier, mit Skizze, dann Lösung aufklappen und abhaken.
Taschenrechner erlaubt; rechne mit der \(\pi\)-Taste. Längen, Flächen und Winkel auf zwei Dezimalen runden, Zwischenresultate ungerundet weiterverwenden.
Kompetenzen
RLP-BM 2030, Grundlagenfach, Teilgebiet 5.2 Planimetrie — Taschenrechner erlaubt. Hier die Teile zum Kreis:
- K1 geometrische Sachverhalte von elementaren Objekten (… Kreis) beschreiben — Kapitel 1 und 2.
- K2 deren Elemente (… Sehne, Sekante, Tangente, Sektor, Segment, Winkel und Winkelmass) und Zusammenhänge (Umfang, Flächeninhalt, Abstand) berechnen — Sehne, Abstand und Tangente in Kapitel 1, Umfang und Fläche in Kapitel 2, Bogen, Sektor und Winkel in Kapitel 3, Segment, Kreisring und zusammengesetzte Flächen in Kapitel 4. Winkel in Grad.
Nicht hier: Dreiecke und Vierecke mit ihren Elementen (Themenseiten 5.2a und 5.2b), «die Ähnlichkeit für Berechnungen in der Ebene nutzen» (5.2d), das Bogenmass (GF 5.1; hier nur im Festhalten 3 erwähnt) und Segmente bei beliebigen Winkeln (braucht die Trigonometrie, 5.3).
Vorwissen
Satz des Pythagoras, das gleichseitige Dreieck, Bruchteile des Vollwinkels, Gleichungen mit \(x^2\) und Flächeneinheiten. Wenn das wackelt: Themenseite 5.2a, Pythagoras und das Leitprogramm Dreiecke (Kapitel 3–4).
Vortest · 10 P
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0a(2 P)Rechtwinkliges Dreieck: (a) Katheten \(5\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\) — Hypotenuse? (b) Hypotenuse \(10\,\text{cm}\), eine Kathete \(6\,\text{cm}\) — andere Kathete?
Lösung
(a) \(\sqrt{25 + 144} = 13\,\text{cm}\). (b) \(\sqrt{100 - 36} = 8\,\text{cm}\).
Kapitel 1 rechnet so Sehnen und Tangenten aus.
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0b(2 P)Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seite \(8\,\text{cm}\). Wie hoch ist es, und wie gross ist seine Fläche?
Lösung
Die Höhe halbiert die Grundseite: \(h = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} \approx 6.93\,\text{cm}\). \(A = \tfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{48} \approx 27.71\,\text{cm}^2\).
Genau dieses Dreieck steckt in Kapitel 4 im Segment zu \(60°\).
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0c(2 P)Welcher Bruchteil des Vollwinkels sind \(90°\), \(45°\) und \(240°\)? Wie viele Grad ist ein Sechstel des Vollwinkels?
Lösung
\(\tfrac{90}{360} = \tfrac{1}{4}\), \(\tfrac{45}{360} = \tfrac{1}{8}\), \(\tfrac{240}{360} = \tfrac{2}{3}\). Ein Sechstel: \(60°\).
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0d(2 P)Löse: (a) \(3x = 24\) (b) \(5x^2 = 100\) mit \(x \gt 0\) (auf zwei Dezimalen)
Lösung
(a) \(x = 8\). (b) \(x^2 = 20\), \(x = \sqrt{20} \approx 4.47\).
So rechnest du in Kapitel 2 aus der Fläche den Radius zurück.
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0e(2 P)Wie viele \(\text{cm}^2\) sind \(1\,\text{m}^2\)? Wie viele \(\text{cm}^2\) sind \(0.35\,\text{m}^2\)?
Lösung
\(1\,\text{m}^2 = 100\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 10\,000\,\text{cm}^2\); \(0.35\,\text{m}^2 = 3500\,\text{cm}^2\).
Weniger als 7 von 10 Punkten: zuerst die verlinkten Stellen, dann Kapitel 1.
Linien am Kreis
Du beschreibst den Kreis und unterscheidest Radius, Durchmesser und Sehne von Sekante, Tangente und Passante, entscheidest mit dem Abstand \(a\), wie eine Gerade zum Kreis liegt, und berechnest mit Pythagoras Sehne, Abstand, Radius und Tangentenstrecke — auch von einem Punkt in gegebenem Abstand von der Kreislinie aus.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Ein Kreis mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(r\) ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von \(M\) den Abstand \(r\) haben. Der Durchmesser ist \(d = 2r\).
Strecken (sie enden am Kreis): Radius, Durchmesser, Sehne — sie verbindet zwei Punkte der Kreislinie; die längste Sehne ist der Durchmesser. Geraden: Sekante (zwei Schnittpunkte), Tangente (genau ein Berührpunkt), Passante (kein gemeinsamer Punkt). Die Sehne ist das Stück der Sekante im Kreis.
Der Abstand \(a\) einer Geraden von \(M\) ist die Länge des Lots von \(M\) auf die Gerade. Er entscheidet: \(a \gt r\) Passante, \(a = r\) Tangente, \(a \lt r\) Sekante.
Die Tangente steht im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius: Der Berührpunkt ist ihr Punkt, der \(M\) am nächsten liegt (alle anderen liegen ausserhalb des Kreises), und der kürzeste Weg von \(M\) zu einer Geraden ist das Lot.
Pythagoras am Kreis. Das Lot von \(M\) halbiert jede Sehne, also \(\left(\tfrac{s}{2}\right)^2 + a^2 = r^2\). Für die Tangente von einem Punkt \(P\) aus mit dem Berührpunkt \(B\): \(\overline{PB}^2 + r^2 = \overline{MP}^2\) — der rechte Winkel liegt bei \(B\).
Den Abstand mit dem Durchmesser vergleichen statt mit dem Radius.
Die halbe Sehne aus dem Dreieck als ganze Sehne angeben.
Bei der Tangente \(\overline{MP}\) als Kathete nehmen: \(\overline{MP}\) liegt dem rechten Winkel bei \(B\) gegenüber, ist also die Hypotenuse.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 1 · 16 P
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1a(2 P)Wahr oder falsch? Begründe je in einem Satz. (i) Jede Sehne liegt auf einer Sekante. (ii) Eine Gerade durch \(M\) ist immer eine Sekante. (iii) Zu einer Tangente gibt es genau eine zweite Tangente, die zu ihr parallel ist. (iv) Eine Sehne kann länger sein als der Durchmesser.
Lösung
(i) Wahr: Verlängert man eine Sehne, entsteht eine Gerade mit zwei Schnittpunkten. (ii) Wahr: Ihr Abstand ist \(a = 0 \lt r\). (iii) Wahr: die Tangente auf der anderen Seite, am Ende des Durchmessers durch den ersten Berührpunkt — beide stehen senkrecht auf demselben Durchmesser. (iv) Falsch: Der Durchmesser ist die längste Sehne.
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1b(3 P)Ein Kreis hat den Radius \(r = 6.5\,\text{cm}\), eine Sehne ist \(12\,\text{cm}\) lang (Bild). Wie weit ist die Sehne vom Mittelpunkt entfernt? Wie hoch ist der Bogen über der Sehne (Segmenthöhe \(h = r - a\))?
Lösung
Das Lot halbiert die Sehne: \(a = \sqrt{6.5^2 - 6^2} = \sqrt{6.25} = 2.5\,\text{cm}\). Segmenthöhe \(h = 6.5 - 2.5 = 4\,\text{cm}\).
Wer \(\sqrt{6.5^2 - 12^2}\) rechnen will, merkt es: Unter der Wurzel steht etwas Negatives — im Dreieck liegt die halbe Sehne.
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1c(3 P)Ein Punkt \(P\) ist \(10\,\text{cm}\) vom Mittelpunkt eines Kreises mit \(r = 6\,\text{cm}\) entfernt (Bild). (a) Wie lang ist die Tangentenstrecke \(\overline{PB}\)? (b) Wie weit ist \(P\) von der Kreislinie entfernt?
Lösung
(a) Rechter Winkel bei \(B\), \(\overline{MP}\) ist die Hypotenuse: \(\overline{PB} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\,\text{cm}\). (b) Der kürzeste Weg geht auf der Geraden \(MP\): \(10 - 6 = 4\,\text{cm}\).
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1d(2 P)Warum halbiert das Lot von \(M\) auf eine Sehne die Sehne?
Lösung
Die Radien zu den beiden Sehnenenden sind gleich lang: Das Dreieck aus \(M\) und den Sehnenenden ist gleichschenklig, und seine Höhe auf die Basis halbiert die Basis (Symmetrieachse). Ebenso mit Pythagoras: Beide Teilstücke sind \(\sqrt{r^2 - a^2}\) lang.
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1e(2 P)Ein Kreis hat den Durchmesser \(9\,\text{cm}\). Eine Gerade hat vom Mittelpunkt den Abstand \(4.6\,\text{cm}\). Mia sagt: «Das ist eine Sekante, denn \(4.6 \lt 9\).» Stimmt das?
Lösung
Nein. Zu vergleichen ist mit dem Radius \(r = 4.5\,\text{cm}\): \(4.6 \gt 4.5\), also eine Passante. Mia hat mit dem Durchmesser verglichen.
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1f(2 P)Eine Sehne ist \(9\,\text{cm}\) lang und hat vom Mittelpunkt den Abstand \(6\,\text{cm}\). Wie gross ist der Radius des Kreises? Mach eine Skizze mit dem rechtwinkligen Dreieck.
Lösung
Das Lot halbiert die Sehne: Katheten \(4.5\,\text{cm}\) (halbe Sehne) und \(6\,\text{cm}\) (Abstand), der Radius zum Sehnenende ist die Hypotenuse. \(r = \sqrt{4.5^2 + 6^2} = \sqrt{56.25} = 7.5\,\text{cm}\).
Hier wird addiert: Gesucht ist die Hypotenuse.
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1g(2 P)Ein Kreis hat den Radius \(1.2\,\text{m}\). Ein Punkt \(P\) liegt \(30\,\text{cm}\) ausserhalb der Kreislinie — so weit ist er von ihr entfernt. Wie lang ist die Tangentenstrecke von \(P\) zum Berührpunkt \(B\)?
Lösung
Einheiten angleichen: \(30\,\text{cm} = 0.3\,\text{m}\). Der Abstand zur Kreislinie liegt auf der Geraden \(MP\): \(\overline{MP} = 1.2 + 0.3 = 1.5\,\text{m}\), die Hypotenuse. \(\overline{PB} = \sqrt{1.5^2 - 1.2^2} = \sqrt{0.81} = 0.9\,\text{m}\).
\(\overline{MP}\) ist nicht \(30\,\text{cm}\): Das ist nur das Stück ausserhalb des Kreises.
Mehr dazu: Themenseite 5.2c, Kreis und seine Linien (mit der Animation zu Geraden und Strecken)
Umfang, Fläche und π
Du kennst \(\pi\) als festes Verhältnis von Umfang zu Durchmesser, berechnest Umfang und Fläche aus \(r\) oder \(d\) und rechnest aus Umfang oder Fläche den Radius zurück. Warum \(A = \pi r^2\) gilt, zeigen die umgelegten Sektoren.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Bei jedem Kreis ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser dieselbe Zahl, die Kreiszahl \(\pi = \tfrac{U}{d} \approx 3.14159\) (alle Kreise sind ähnlich). \(\pi\) ist irrational — gerechnet wird mit der \(\pi\)-Taste.
\[ U = 2\pi r = \pi d \qquad A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4} \]
Warum \(\pi r^2\)? Zerschneidet man den Kreis in viele gleiche Sektoren und legt sie abwechselnd nebeneinander, entsteht fast ein Rechteck: so hoch wie der Radius, so breit wie der halbe Umfang \(\pi r\). Die Fläche bleibt beim Umlegen gleich: \(A = \pi r \cdot r = \pi r^2\).
Rückwärts: \(r = \tfrac{U}{2\pi}\) und \(r = \sqrt{\tfrac{A}{\pi}}\). Zum Beispiel \(U = 40\,\text{cm}\): \(r = \tfrac{40}{2\pi} \approx 6.37\,\text{cm}\); \(A = 50\,\text{cm}^2\): \(r = \sqrt{\tfrac{50}{\pi}} \approx 3.99\,\text{cm}\).
Doppelter Radius: doppelter Umfang, aber vierfache Fläche — der Umfang enthält \(r\) einmal, die Fläche \(r^2\).
\(2\pi r\) und \(\pi r^2\) verwechseln. Die Einheit hilft: Ein Umfang ist eine Länge (cm), eine Fläche hat cm².
Den Durchmesser in \(\pi r^2\) einsetzen.
Beim Rückwärtsrechnen aus der Fläche die Wurzel vergessen.
Mit \(\pi = 3.14\) rechnen und vier Dezimalen angeben: Die Genauigkeit stimmt dann nicht mehr.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 2 · 14 P
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2a(2 P)Ein Teller hat den Durchmesser \(26\,\text{cm}\). Berechne Umfang und Fläche.
Lösung
\(r = 13\,\text{cm}\). \(U = 26\pi \approx 81.68\,\text{cm}\); \(A = \pi \cdot 13^2 = 169\pi \approx 530.93\,\text{cm}^2\).
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2b(3 P)Mit einem Messband misst du den Umfang eines Baumstamms: \(2\,\text{m}\). Nimm den Stamm als kreisrund an. Wie dick ist er (Durchmesser)? Wie gross ist die Schnittfläche, wenn man ihn fällt?
Lösung
\(d = \tfrac{U}{\pi} = \tfrac{200}{\pi} \approx 63.66\,\text{cm}\). \(r = \tfrac{100}{\pi} \approx 31.83\,\text{cm}\), \(A = \pi r^2 = \tfrac{10\,000}{\pi} \approx 3183.10\,\text{cm}^2 \approx 0.32\,\text{m}^2\).
Mit dem gerundeten \(r = 31.83\) gibt es \(3182.90\) — darum Zwischenresultate im Rechner lassen.
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2c(3 P)Ein runder Tisch soll \(1.5\,\text{m}^2\) Fläche haben. Welchen Durchmesser braucht er? Wie viel Platz am Rand hat jede von sechs Personen?
Lösung
\(r = \sqrt{\tfrac{1.5}{\pi}} \approx 0.69\,\text{m}\), \(d \approx 1.38\,\text{m}\). Umfang \(U = 2\pi r \approx 4.34\,\text{m}\), je Person \(\tfrac{4.34}{6} \approx 0.72\,\text{m}\).
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2d(2 P)Verdoppelt man den Radius, verdoppelt sich der Umfang, die Fläche aber vervierfacht sich. Warum?
Lösung
\(U = 2\pi \cdot (2r) = 2 \cdot 2\pi r\): \(r\) kommt einmal vor. \(A = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2\): \(r\) steht im Quadrat, der Faktor \(2\) also auch.
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2e(2 P)Der Kreis wurde in zwölf gleiche Sektoren geschnitten und abwechselnd zu diesem Streifen gelegt (Bild). Warum ist er so hoch wie der Radius und fast so breit wie der halbe Umfang? Was folgt daraus für die Kreisfläche?
Lösung
Die Kanten der Sektoren sind Radien — darum ist der Streifen \(r\) hoch. Unten liegen die Bögen von sechs der zwölf Sektoren, also die Hälfte des Umfangs: \(\tfrac{1}{2} \cdot 2\pi r = \pi r\). Mit mehr Sektoren wird der Streifen ein Rechteck; beim Umlegen bleibt die Fläche gleich, also \(A = \pi r \cdot r = \pi r^2\).
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2f(2 P)Mia misst Durchmesser und Umfang von drei runden Dingen: Dose \(7.3\,\text{cm}\) und \(22.9\,\text{cm}\), Velorad \(66\,\text{cm}\) und \(207.5\,\text{cm}\), Münze \(2.3\,\text{cm}\) und \(7.2\,\text{cm}\). Berechne je \(U : d\) auf zwei Dezimalen. Was fällt auf? Warum kommt nicht genau \(\pi\) heraus?
Lösung
\(\tfrac{22.9}{7.3} \approx 3.14\), \(\tfrac{207.5}{66} \approx 3.14\), \(\tfrac{7.2}{2.3} \approx 3.13\). Bei jedem Kreis, ob klein oder gross, ist \(U : d\) ungefähr dieselbe Zahl, \(\pi \approx 3.14\). Die Abweichungen kommen vom Messen: Auf einen Millimeter genau gemessen, ändert sich das Verhältnis bei der kleinen Münze am stärksten.
Mehr dazu: Themenseite 5.2c, Pi und Umfang und Fläche (mit den Animationen Abrollen und Sektoren zum Rechteck)
Bogen und Sektor
Du bestimmst den Anteil \(\tfrac{\varphi}{360°}\) eines Zentriwinkels, berechnest damit Bogenlänge, Sektorfläche (auch als \(\tfrac{1}{2}\, b \cdot r\)) und den Rand eines Sektors und rechnest aus Bogen oder Fläche den Zentriwinkel zurück.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Zwei Radien schneiden aus dem Kreis einen Sektor (Kreisausschnitt). Der Winkel zwischen ihnen ist der Zentriwinkel \(\varphi\) (Mittelpunktswinkel), das Stück der Kreislinie der Bogen \(b\). Winkel in Grad, der Vollwinkel hat \(360°\).
Bogen und Sektorfläche sind derselbe Anteil \(\tfrac{\varphi}{360°}\) von Umfang und Kreisfläche:
\[ b = \frac{\varphi}{360°} \cdot 2\pi r \qquad A_{SK} = \frac{\varphi}{360°} \cdot \pi r^2 = \tfrac{1}{2}\, b \cdot r \]
\(A_{SK} = \tfrac{1}{2}\, b \cdot r\) gleicht der Dreiecksformel: der Bogen als «Grundseite», der Radius als «Höhe». Der Rand des Sektors ist \(U_S = b + 2r\).
Rückwärts: Anteil \(= \tfrac{b}{2\pi r}\) oder \(\tfrac{A_{SK}}{\pi r^2}\), dann \(\varphi = \text{Anteil} \cdot 360°\). Beispiel \(r = 4\,\text{cm}\), \(b = 6\,\text{cm}\): \(\varphi = \tfrac{6}{8\pi} \cdot 360° \approx 85.94°\).
Die Themenseite schreibt auch \(b = \tfrac{r \pi \varphi}{180°}\) — dasselbe, gekürzt. Steht \(\varphi\) im Bogenmass (GF 5.1), ist einfach \(b = r \cdot \varphi\).
Bogen (eine Länge, \(2\pi r\)) und Sektor (eine Fläche, \(\pi r^2\)) verwechseln.
Den Anteil vergessen und den ganzen Umfang oder die ganze Fläche angeben.
Beim Rand des Sektors die zwei Radien vergessen.
Beim Rückwärtsrechnen den Anteil als Winkel stehen lassen: \(0.25\) ist nicht \(\varphi\), sondern \(\tfrac{\varphi}{360°}\).
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 3 · 12 P
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3a(3 P)Der Minutenzeiger einer Wanduhr ist \(9\,\text{cm}\) lang. Die Zeit läuft \(20\) Minuten. (a) Um welchen Winkel dreht sich der Zeiger? (b) Welchen Weg legt seine Spitze zurück? (c) Welche Fläche überstreicht er?
Lösung
(a) \(20\) von \(60\) Minuten sind ein Drittel: \(\varphi = 120°\). (b) \(b = \tfrac{1}{3} \cdot 2\pi \cdot 9 = 6\pi \approx 18.85\,\text{cm}\). (c) \(A_{SK} = \tfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9^2 = 27\pi \approx 84.82\,\text{cm}^2\).
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3b(3 P)Ein Sektor hat den Radius \(6\,\text{cm}\) und den Bogen \(10\,\text{cm}\) (Bild). Wie gross ist sein Zentriwinkel? Wie gross ist seine Fläche — berechne sie ohne den Winkel.
Lösung
\(\varphi = \tfrac{10}{2\pi \cdot 6} \cdot 360° \approx 95.49°\). \(A_{SK} = \tfrac{1}{2}\, b \cdot r = \tfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30\,\text{cm}^2\) (Probe: \(\tfrac{95.49°}{360°} \cdot 36\pi \approx 30\)).
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3c(2 P)Warum gilt derselbe Anteil \(\tfrac{\varphi}{360°}\) für den Bogen und für die Fläche?
Lösung
Ein Sektor mit doppeltem Winkel besteht aus zwei gleichen Sektoren, die durch Drehen um \(M\) aufeinanderpassen: doppelter Bogen und doppelte Fläche. Bogen und Fläche wachsen also beide proportional zu \(\varphi\), und bei \(360°\) sind sie der Umfang und die Kreisfläche.
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3d(2 P)Lena berechnet für \(r = 7\,\text{cm}\) und \(\varphi = 50°\) die Sektorfläche: «\(A_{SK} = \tfrac{50°}{360°} \cdot 2\pi \cdot 7 \approx 6.11\,\text{cm}^2\)». Was ist falsch? Rechne richtig.
Lösung
Sie hat den Anteil vom Umfang genommen — das ist die Bogenlänge in cm, keine Fläche. Richtig: \(A_{SK} = \tfrac{50°}{360°} \cdot \pi \cdot 7^2 \approx 21.38\,\text{cm}^2\).
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3e(2 P)Ein runder Kuchen wird in gleiche Stücke mit dem Zentriwinkel \(40°\) geschnitten. Wie viele Stücke gibt es? Der Bogen eines Stücks ist \(7\,\text{cm}\) lang. Welchen Durchmesser hat der Kuchen?
Lösung
\(\tfrac{360°}{40°} = 9\) Stücke. Umfang \(U = 9 \cdot 7 = 63\,\text{cm}\), also \(d = \tfrac{63}{\pi} \approx 20.05\,\text{cm}\).
Mehr dazu: Themenseite 5.2c, Kreisbogen und Kreissektor und die Aufgaben A4 und A7
Segment und Kreisring
Du berechnest die Fläche eines Segments als Sektor minus Dreieck (über \(180°\) plus Dreieck) bei \(60°\), \(90°\) und ihren Ergänzungen, die Fläche eines Kreisrings auf zwei Arten und zusammengesetzte Flächen in Sachaufgaben.
① Clip
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Festhalten
Eine Sehne \(P_1P_2\) schneidet ein Segment (Kreisabschnitt) ab: die Fläche zwischen Sehne und Bogen. Mit dem Dreieck \(MP_1P_2\) aus den beiden Radien und der Sehne:
\[ \varphi \lt 180°\!: \; A_{SG} = A_{SK} - A_\Delta \qquad \varphi \gt 180°\!: \; A_{SG} = A_{SK} + A_\Delta \]
Bei \(\varphi = 180°\) hat das Dreieck keine Fläche, das Segment ist der Halbkreis. Über \(180°\) liegt das Dreieck im Segment.
Das Dreieck ohne Trigonometrie: Bei \(90°\) (und \(270°\)) ist es rechtwinklig mit den Katheten \(r\): \(A_\Delta = \tfrac{1}{2}\, r^2\). Bei \(60°\) (und \(300°\)) ist es gleichseitig mit der Seite \(r\): Höhe \(h_\Delta = \sqrt{r^2 - \left(\tfrac{r}{2}\right)^2}\), \(A_\Delta = \tfrac{1}{2}\, r \cdot h_\Delta\). Für andere Winkel braucht es die Trigonometrie (GF 5.3).
Kreisring zwischen zwei Kreisen um \(M\) mit Aussenradius \(R\) und Innenradius \(r\):
\[ A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = 2\pi r_m \cdot b \]
mit der Ringbreite \(b = R - r\) und dem mittleren Radius \(r_m = \tfrac{R + r}{2}\): mittlerer Umfang mal Breite. (Hier heisst \(b\) die Ringbreite, wie auf der Themenseite — nicht die Bogenlänge aus Kapitel 3.)
Zusammengesetzte Flächen zerlegst du in bekannte Teile (Rechteck, Halbkreis, Sektor, Dreieck) und addierst oder ziehst ab.
Über \(180°\) das Dreieck abziehen statt addieren.
Bei \(60°\) das Dreieck als rechtwinklig rechnen (\(\tfrac{1}{2}\, r^2\)) — es ist gleichseitig.
\(\pi (R - r)^2\) statt \(\pi (R^2 - r^2)\): Das ist ein Kreis mit dem Radius \(b\), nicht der Ring.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 4 · 13 P
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4a(3 P)Ein Rundbogenfenster besteht aus einem Rechteck, \(1.2\,\text{m}\) breit und \(1.5\,\text{m}\) hoch, mit einem Halbkreis obendrauf (Bild). Wie gross ist die Glasfläche? Wie lang ist der Rand des Fensters?
Lösung
Fläche \(1.2 \cdot 1.5 + \tfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot 0.6^2 \approx 1.80 + 0.57 = 2.37\,\text{m}^2\). Rand: unten \(1.2\), zwei Seiten \(2 \cdot 1.5\), oben der halbe Kreisumfang \(\pi \cdot 0.6\): \(4.2 + 0.6\pi \approx 6.08\,\text{m}\).
Die obere Rechteckseite gehört nicht zum Rand — dort sitzt der Halbkreis.
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4b(3 P)Ein runder Tisch mit dem Radius \(60\,\text{cm}\) wird an einer Seite gerade abgeschnitten; die Schnittkante ist so lang wie der Radius (Bild). Wie gross ist die Tischfläche, die bleibt (in m²)?
Lösung
Sehne \(= r\): Das Dreieck aus \(M\) und den Enden der Schnittkante ist gleichseitig, der Zentriwinkel \(60°\). Der Tisch ist das Segment zu \(300°\): Sektor plus Dreieck. Sektor \(\tfrac{300°}{360°} \cdot \pi \cdot 0.6^2 \approx 0.9425\,\text{m}^2\); Dreieck \(h_\Delta = \sqrt{0.6^2 - 0.3^2} \approx 0.520\), \(A_\Delta = \tfrac{1}{2} \cdot 0.6 \cdot 0.520 \approx 0.1559\,\text{m}^2\). Tisch \(\approx 1.10\,\text{m}^2\).
Ebenso: ganzer Kreis minus das kleine Segment (\(0.1885 - 0.1559 \approx 0.0326\,\text{m}^2\)).
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4c(3 P)Eine CD ist zwischen den Radien \(2.3\,\text{cm}\) und \(5.8\,\text{cm}\) bespielt. Wie gross ist die bespielte Fläche? Rechne auf beide Arten.
Lösung
\(\pi (5.8^2 - 2.3^2) = 28.35\pi \approx 89.06\,\text{cm}^2\). Oder \(b = 3.5\,\text{cm}\), \(r_m = 4.05\,\text{cm}\): \(2\pi \cdot 4.05 \cdot 3.5 = 28.35\pi\) — dasselbe.
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4d(2 P)Warum gilt «Segment = Sektor − Dreieck» nur für \(\varphi \lt 180°\)? Was gilt bei \(180°\) und darüber?
Lösung
Unter \(180°\) liegt das Dreieck \(MP_1P_2\) im Sektor, aber ausserhalb des Segments: Man zieht es ab. Bei \(180°\) liegen \(P_1\), \(M\), \(P_2\) auf einer Geraden, das Dreieck hat keine Fläche, das Segment ist der Halbkreis. Darüber liegt das Dreieck im Segment: Sektor plus Dreieck.
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4e(2 P)Zwei Kreisringe sind beide \(1\,\text{cm}\) breit, der eine liegt weiter aussen. Warum hat er mehr Fläche?
Lösung
\(A = 2\pi r_m \cdot b\): Bei gleicher Breite \(b\) wächst die Fläche mit dem mittleren Radius \(r_m\) — der äussere Ring ist länger.
Mehr dazu: Themenseite 5.2c, Kreissegment und Kreisring (mit der Animation zum Aufrollen des Rings)
Gesamttest
⬇ Gesamttest (PDF)
⬇ Bewertungspaket (PDF)
| 22 – 25 P | Die geprüften Teile sitzen. Wo du Punkte verloren hast: das Kapitel dieser Aufgabe nochmals (Zuordnung unten). |
| 17 – 21 P | Das schwächste Kapitel nochmals: Tüfteln und Übungen des Kapitels, in dem du die meisten Punkte verloren hast. |
| 11 – 16 P | Zurück zu den Kapiteln aller Aufgaben, in denen du Punkte verloren hast. |
| 0 – 10 P | Zurück zu Kapitel 1 und von dort der Reihe nach weiter. |
Aufgabe → Kapitel: G1, G2 → 1; G3 (a) → 2, G3 (b) → 4; G4 → 3; G5 (a) → 1, G5 (b)–(d) → 4; G6 → 3; G7 → 2 und 4
Weiter
Als Nächstes in der Planimetrie: Themenseite 5.2d, Zentrische Streckung und Ähnlichkeit — dort steckt auch, warum \(\pi\) für alle Kreise gleich ist. Danach die Trigonometrischen Berechnungen (5.3): Mit ihnen geht das Dreieck im Segment bei jedem Winkel.
Nicht in diesem Leitprogramm, sondern auf der Themenseite 5.2c: die Annäherung von \(\pi\) mit Vielecken nach Archimedes (Pi — die Kreiszahl, Aufgabe A3), die Segmentformel mit Sehne und Segmenthöhe \(A_{SG} = \tfrac{r^2 \pi \varphi}{360°} - \tfrac{s\,(r - h)}{2}\) für beliebige Winkel (sie braucht Sinus und Cosinus) und der Ring als aufgerolltes Trapez.